«Доббль» – это динамичная, увлекательная настольная игра, развивающая внимательность и остроту реакции. Специфические правила также тренируют навыки общения и умение проявлять самоконтроль. Эта азартное карточное соревнование надолго увлекает вашего ребенка, сколько бы лет ему ни было!
Описание игры
В небольшую жестяную коробочку сложены круглые картонные карточки. На них изображены разнообразные предметы, животные и символы. Картинки расположены таким образом, что на любой отдельно взятой паре кружков обязательно присутствует один совпадающий рисунок. Суть игры заключается в том, чтобы как можно быстрее обнаружить его и назвать вслух.
Цель
Зависит от варианта соревновательного процесса. Игрокам предлагается попробовать 5 возможных сценариев.
1. Башня
Каждый участник получает по одной карточке и в закрытую кладет перед собой. Оставшаяся колода помещается в центр лицевой стороной вверх. Игроки одновременно открывают свои карточки и стараются как можно быстрее найти совпадение между своей карточкой и той, что в центре. Тот, кто справится первым, забирает центральную карточку себе, открывая таким образом новую. После этого действия повторяются. Выигрывает тот, кто соберет больше карточек.
2. Подарочек
Вся механика такая же, как и в предыдущем варианте за одним исключением: игроки ищут совпадения между центральной и карточкой другого участника. Отыскав повторяющийся элемент быстрее всех, ребенок «подкидывает подарочек» сопернику, складывая в его колоду центральный образец. Победителем становится тот, у кого в конце игры накопится меньше карточек.
3. Колодец
Все карты раздаются игрокам, только последняя кладется в центр лицом вверх. Цель каждого из соревнующихся – самым первым избавиться от своих карт, формируя башню посередине путем нахождения совпадений между своей и центральной карточками.
4. Горячая картошка
Игра идет раундами. Каждый раз участникам раздается по одной карте. Одновременно они открывают свои карточки и на скорость ищут совпадения между ними. Кто находит их первым, кладет свою карту поверх карты соперника. Тот, кому по итогам раунда все скинули карточки, оставляет их себе. Начинается новый тур. Побеждает игрок, накопивший меньше всех штрафных карточек.
5. Собери их все
На стол выкладываются карточки по количеству игроков (лицом вниз), в центре формируется колода. По команде все карточки одновременно открываются. Цель – собрать больше всех карточек, находя совпадения между центральной и любой другой из них.
Рекомендованный возраст игроков – от 6 лет. Однако даже двух-, трехлетние малыши могут принимать участие, если исключить соревновательный момент и использовать игру как увлекательное развивающее занятие. То есть задача останется та же, но поиск совпадений будет происходить не на скорость, а в удобном для малыша темпе, либо по очереди, если участвуют несколько детей. Стоит отметить, что «Доббль» будет полезен не только для развития внимательности, но и для актуализации словарного запаса малышей.
Выберите свой вариант настольной игры Доббль и совершенствуйте скорость мышления!
Что такое Доббль?
Настольная игра Доббль — это более 50 символов и 55 карточек. На каждой карточке по 8 символов, и только один из них совпадает с символом на другой карточке. Ваша задача — найти его.
Перед игрой…
Если вы никогда не играли или играете с людьми, которые не играли в эту игру, вытянете любые две карты и положите их лицевой стороной вверх на стол перед всеми игроками.
Найдите символ, который присутствует на обеих карточках (одинаковая форма, одинакового цвета, только размер может отличаться). Первый, кто найдет верное совпадение, громко его объявляет и затем вытягивает и затем вытягивает две новые карточки, которые кладёт на стол лицевой стороной вверх. Продолжайте так до тех пор, пока каждый игрок не поймет, что между двумя карточками существует только один совпадающий символ.
Цель игры
В любой мини-игре всегда нужно быть самым внимательным, чтобы раньше других найти символ, совпадающий на двух карточках, громко его объявить, затем взять карточку себе, отдать другому или сбросить (в зависимости от правил каждой мини-игры).
Мини-игры
Доббль — это серия мини-игр на быстроту реакции, в которых все участники играют одновременно. Вы можете играть в мини-игры в определённом порядке, произвольно, или можете играть в одну и ту же мини-игру снова и снова. Важно лишь то, что получаете удовольствие! Перед началом прочтите правила выбранной мини-игры всем игрокам. Не забудьте провести пробный раунд, чтобы каждый игрок понял правила.
Конец игры
Побеждает тот, кто первым назвал совпадение! Если игроки объявили о совпадении одновременно, выигрывает тот, кто первым взял карточку себе, отдал её другому или сбросил.
Ничья
В конце мини-игры игроки, набравшие одинаковое количество карточек, играют друг против друга (или проводят один раунд «Горячей картошки», если игроков больше, чем двое). Каждый берёт карточку и переворачивает её одновременно с противником. Первый, кто обнаруживает совпадающий символ и объявляет его, выигрывает дуэль.
Заказать настольную игру Доббль.
Разбери башню
1) Раздача карт: перетасуйте колоду, положите по одной карточке в закрытую перед каждым игроком, оставшиеся карточки в центр стола в открытую.
2) Цель игры: набрать больше всех карточек.
3) Правила: Сначала игроки переворачивают свою карточку лицевой стороной вверх.
- Каждый игрок должен стараться быть самым внимательным, чтобы найти символ на своей карточке, совпадающий с символом на верхней карточке в колоде.
- Первый, кто найдёт и назовёт его, берёт карточку из колоды и кладёт перед собой на свою карточку. Таким образом, в колоде открывается новая карточка.
- Игра продолжается до тех пор, пока не закончатся карточки в центре.
4) Конец мини-игры: Игра заканчивается, когда все карты из колоды окажутся у игроков. Выигрывает тот, кто набрал больше всех карточек.
Колодец
1) Раздача карт: раздайте игрокам все карты по одной рубашкой вверх, начиная с того, кто выиграл в прошлой мини-игре. Положите последнюю карту в центр стола в открытую.
.jpg)
2) Цель игры: избавится от своих карточек — не прозевайте!
3) Правила: Сначала игроки переворачивают свои колоды лицевой стороной вверх.
- Игроки должны стараться быть быстрее других при сбросе карточек из своей колоды в колоду в центре.
- Для сброса им необходимо назвать символ, совпадающий на верхней карточке их колоды с карточкой в центре.
- Игрокам нужно обладать хорошей реакцией, поскольку карточка в центре меняется сразу же, как на неё кладётся карточка из колоды какого-либо игрока.
.jpg)
4) Конец мини-игры: проигрывает тот, кто избавится от своих карточек последним.
Горячая картошка
(Играется в несколько раундов)
1) Раздача карт: в каждом раунде каждому игроку в закрытую раздается карточка, которую нужно держать в руке. Оставшуюся колоду откладывают в сторону, она потребуется для следующих раундов.
2) Цель игры: избавиться от своей карточки быстрее других игроков.
3) Правила: в начале мини-игры игроки переворачивают свои карточки так, чтобы было хорошо видно все символы (лучше всего держать карточки на ладони).
- Как только игрок находит символ, совпадающий на его карточке с символом на карточке другого игрока, он называет символ и кладёт свою карточку (карточки) на руку этого игрока (теперь в игре участвует только верхняя карточка этого игрока).
- И снова все игроки с карточками ищут совпадение между своей верхней карточкой и верхними карточками других игроков.
4) Конец мини-игры: игрок, которому достанутся все карточки, проигрывает раунд и кладёт их рядом с собой. Игроки проводят столько раундов, сколько хотят (но минимум 5) или пока не закончатся карточки в колоде. По результатам сыгранных раундов проигрывает тот, кто набрал больше всех карточек.
Собери их все!
(Играется в несколько раундов)
1) Раздача карт: в каждом раунде положите в центр стола карточку в открытую, а вокруг — столько карточке в закрытую, сколько участников в игре. Оставшуюся колоду отложите в сторону, она понадобится для следующих раундов.
2) Цель игры: набрать как можно больше карточек быстрее остальных игроков.
3) Правила: сначала все игроки одновременно переворачивают по одной карточке из расположенных вокруг центральной.
- Игроки должны найти символ, совпадающий на центральной карточке и любых карточках, которые они только что перевернули.
- Как только игрок находит и называет совпадение, он берёт перевернутую карточку и кладёт рядом с собой (будьте внимательны, вы не можете взять карточку из центра).
4) Конец мини-игры: когда все перевёрнутые карточки разобраны, положите центральную карточку на дно оставшейся колоды и начните новый раунд. Игроки сохраняют выигранные карточки. Когда карточек в колоде больше не осталось, мини-игра завершается, и побеждает тот, кто набрал больше всех карточек.
Подарочек
1) Раздача карт: перемешайте карточки, положите по одной в закрытую перед каждым игроком. Оставшуюся колоду положите в открытую в центр стола.
2) Цель игры: набрать как можно меньше карточек из колоды.
3) Правила: сначала игроки переворачивают свои карточки лицевой стороной вверх.
- Каждый игрок должен найти символ, общий для карточки любого другого игрока и карточки в колоде.
- Первый, кто обнаружит и назовёт совпадение, берёт центральную карточку и кладёт её сверху на карточку того игрока, с карточкой которого он нашёл совпадение.
- Таким образом, в центре открывается новая карточка. Мини-игра продолжается до тех пер, пока колода не заканчивается.
.jpg)
4) Конец мини-игры: мини-игра завершается, как только все карточки из колоды разобраны. Побеждает тот, кто наберёт меньше всех карточек.
Серия игр Доббль и ее аналоги
Нет ни одной популярной игры без аналогов. А самые изместные аналоги игры Доббль: Дубль, Дуббль, Дабл. Игры отличаются тематикой картинок, их количеством и размерами. Но в целом принцип игры тотже.
-
Доббль
-
Доббль Холодное сердце
-
Доббль. Гарри Поттер
-
Дубль 2 Веселая схватка
-
Дуббль 2 Принцессы
Другие версии игры Доббль и ее аналогов можно псмотреть тут.
Мини-игра № 1. «Разбери башню».
- Перетасуйте колоду, положите по одной карточке в закрытую перед каждым игроком, оставшиеся карточки положите в центр стола в открытую;
- Цель игры: набрать больше всех карточек;
- Сначала игроки переворачивают свою карточку лицевой стороной вверх. Каждый игрок должен стараться быть самым быстрым, чтобы найти изображение на своей карточке, совпадающее с изображением на верхней карточке в колоде. Первый, кто найдёт и назовёт его, берёт карточку из колоды и кладёт перед собой на свою карточку. Таким образом, в колоде открывается новая карточка. Игра продолжается до тех пор, пока не закончатся карточки в центре;
- Победитель — игрок, набравший больше всех карточек
Мини-игра № 2. «Колодец».
- Раздайте игрокам все карты по одной. Положите последнюю карту в центр стола в открытую. Каждый игрок переворачивает свою колоду (которая находится перед ним) рубашкой вверх;
- Цель игры: избавиться от всех своих карточек – не прозевайте;
- Сначала игроки переворачивают свои колоды лицевой стороной вверх. Игроки должны стараться быть быстрее других при сбросе карточек из своей колоды в колоду в центре. Для сброса им необходимо назвать изображение, совпадающее на верхней карточке их колоды и карточкой в центре. Игрокам нужно обладать хорошей реакцией, поскольку карточка в центре меняется сразу же, как на неё кладётся карточка из колоды игрока;
- Проигравший — игрок, последний избавившийся от своих карточек.
Мини-игра № 3. «Горячая картошка».
- В каждом раунде каждому игроку в закрытую раздается карточка, которую нужно держать в руке. Оставшуюся колоду откладывают в сторону, она потребуется для следующих раундов;
- Цель игры: избавиться от своей карточки быстрее других игроков;
- В начале мини-игры игроки переворачивают свои карточки так, чтобы было хорошо видно все изображения. Как только игрок находит изображение, совпадающее на его карточке и карточке другого игрока, он называет его и кладёт свою карточку в руку игрока, с карточкой которого он нашёл совпадение. Этот игрок теперь должен найти совпадение на своей новой карточке и карточках оставшихся игроков. Если он найдёт совпадение, то отдаёт все карточки с руки;
- Игрок, которому достаются все карточки проигрывает раунд. Начинается следующий.
Мини-игра № 4. «Собери их все».
- В каждом раунде положите в центр стола карточку в открытую, а вокруг – столько карточек в закрытую, сколько участников в игре. Оставшуюся колоду отложите в сторону, она понадобится для следующих раундов;
- Цель игры: набрать как можно больше карточек быстрее остальных игроков;
- Сначала все игроки одновременно переворачивают по одной карточке из расположенных вокруг центральной. Игроки должны найти изображение, совпадающее на центральной карточке и любых карточках, которые они только что перевернули. Как только игрок находит и называет совпадение, он берёт перевернутую карточку и кладёт рядом с собой (будьте внимательны: вы не можете взять карточку из центра);
- Когда все перевернутые карточки разобраны, положите центральную карточку на дно оставшейся колоды и начните новый раунд. Игроки сохраняют выигранные карточки. Когда карточек в колоде больше не осталось, мини-игра завершается, и побеждает тот, кто набрал больше всех карточек.
Мини-игра № 5. «Подарочек».
- Перемешайте карточки, положите по одной в закрытую перед каждым игроком. Оставшуюся колоду положите в открытую в центр стола;
- Цель игры: набрать как можно меньше карточек из колоды;
- Сначала игроки переворачивают свои карточки лицевой стороной вверх. Каждый игрок должен найти изображение, совпадающее на карточке любого другого игрока и карточке в колоде. Первый, кто обнаружит и назовет совпадение, берёт центральную карточку и кладёт её сверху на карточку того игрока, с карточкой которого он нашёл совпадение. Таким образом, в центре открывается новая карточка. Мини-игра продолжается до тех пор, пока колода не закончится;
- Побеждает тот, кто наберёт меньше всего карточек.
Предлагается несколько изменений в системе подсчета очков для некоторых основных игр:
Колодец: В отличие от базовых правил, игра останавливается, когда кто-либо сбросит все свои карты в колодец. При подсчете игроки теряют столько очков, сколько карточек у них осталось. Игрок, у которого осталось наибольшее количество карточек, теряет дополнительные 5 очков (если в игре участвует больше 2 игроков). Победитель получает бонусные 10 баллов.
Горячая картошка: Идея новых правил в том, что игровая партия состоит серии раундов, в каждом из которых проигравший выбывает. По истечении нескольких раундов останется один победитель, который ни разу не потерпел поражения, а все остальные игры соберут у себя разное количество штрафных карт.
Результаты заносятся на листок и игроки начинают новую партию. Так продолжается, пока не закончится колода.
Когда колода заканчивается, игроки суммируют свои результаты и определяют победителя – того, кто соберет меньше всего штрафных очков.
Отравленный подарочек: По правилам базовой игры участники теряют столько очков, сколько карт они получили. Побеждает игрок с наименьшим количеством карт. Наше дополнение заключается в том, что следующий игрок теряет минимум на 2 очка больше, чем победитель (независимо от количества собранных карт), а следующий — минимум на 3 очка больше, чем предыдущий и так далее.
Математическая модель игры Доббль
Время на прочтение12 мин
Количество просмотров59K
Уровни сложности чтения
-
Я слишком молод, чтобы думать
- Введение и правила игры
- Как они это делают?
- Матрица инцидентности для игры Доббль
- Каких двух карточек не хватает в комплекте игры?
- Почему в игре на 2 карточки меньше максимально возможного количества?
- Благодарности
-
Сделай мне умно
- Введение и правила игры
- Как они это делают?
- При чём тут карточки?
- Проективные плоскости малых порядков
- Матрица инцидентности для игры Доббль
- Каких двух карточек не хватает в комплекте игры?
- Почему в игре на 2 карточки меньше максимально возможного количества?
- Благодарности
-
Кошмар
- Введение и правила игры
- Как они это делают?
- Конечная геометрия для грудничков
- При чём тут карточки?
- Проективные плоскости малых порядков
- Как построить проективную плоскость?
- Матрица инцидентности для игры Доббль
- Каких двух карточек не хватает в комплекте игры?
- Почему в игре на 2 карточки меньше максимально возможного количества?
- Благодарности
Введение и правила игры
Несколько лет назад я купил игру Доббль (Dobble, оригинальное название “Spot It!”). Это очень простая, быстрая и весёлая игра, которую я считаю одной из лучших настольных игр вообще.
В комплекте игры 55 карточек с 8 разными символами на каждой. Вот как выглядят эти карточки:
Рис. 1. Пример карточек игры.
На каждых двух карточках совпадает один и только один символ. На приведённом рисунке это символ карандаша:
Рис. 2. Совпадающие символы на карточках.
Игрок, первый увидевший совпадение, делает с одной из карточек действие, зависящее от тура игры. Например, забирает её себе или подкидывает сопернику.
Часто это приводит к тому, что одна из карточек, для которой игроки ищут совпадения, меняется. Из-за этого приходится искать новое совпадение, которое может быть совсем другим символом:
Рис. 3, 4. Первая карточка заменяется на новую. Теперь между ними новое совпадение — символ клоуна.
Как они это делают?
На первый взгляд, кажется невероятным, что на двух карточках ровно одно совпадение, ни больше, ни меньше. Сразу возникают вопросы — сколько всего символов в игре? Их не может быть слишком мало (тогда на карточках будет больше одного совпадения) или слишком много (тогда на карточках может вообще не оказаться совпадений).
Кроме того, очевидно, что символы расположены на карточках в особом порядке, который гарантирует единственное совпадение для любых двух карточек.
Элементарные навыки гугл-фу приводят нас на сайт stackoverflow, где описано, почему так происходит: http://stackoverflow.com/questions/6240113/what-are-the-mathematical-computational-principles-behind-this-game
В игре используются принципы конечной геометрии. Хотя в этом словосочетании есть слово “геометрия”, это понятие относится больше к комбинаторике, чем к геометрии. Она оперирует конечным количеством точек, которые могут располагаться, в частности, в виде проективной плоскости.
Карточки и символы в игре являются элементами проективной плоскости 7 порядка. Это значит, что на каждой карточке n+1 символ, а общее количество уникальных символов в игре — n^2+n+1, т.е. 57 символов.
Существуют плоскости как более низких, так и более высоких порядков. Например, существует плоскость 5 порядка. Для неё на карточке изображены 6 символов, а общее количество уникальных символов в игре — 5^2+5+1 = 31. Проективная плоскость такой конфигурации используется в более простом варианте игры Доббль под названием “Доббль 1,2,3”.
Связь между точками и линиями для проективной плоскости задаётся при помощи матрицы инцидентности. Её вид представлен в разделе “Матрица инцидентности для игры Доббль”.
Конечная геометрия для грудничков
Много позже написания оригинальной статьи я посетил лекцию Алексея Савватеева, где он рассказал о проективной геометрии намного короче и понятнее. Но так как переписывать из-за этого половину статьи у меня нет ни сил, ни желания, то я просто рекомендую его книгу «Математика для гуманитариев», если моя попытка дикаря объяснить устройство автомобиля на пальцах будет непонятной или скучной.
Сначала зайдём на википедию и почитаем несколько статей. Первая статья описывает понятие конечной геометрии:
Конечная геометрия — это любая геометрическая система, имеющая конечное количество точек. [1]
Пока всё просто. Если ручкой на бумаге нарисовать несколько точек, то они уже будут составлять некую конечную геометрию.
Дальше многих ждёт сюрприз:
Например, евклидова геометрия не является конечной, так как евклидова прямая содержит неограниченное число точек, а точнее говоря, содержит ровно столько точек, сколько существует вещественных чисел. [1]
Для нас это значит, что тот листок бумаги, на котором нарисованы наши точки, не является плоскостью с точки зрения конечной геометрии. Это просто носитель точек.
Существуют два вида геометрии на плоскости: аффинная и проективная. В аффинной геометрии используется обычное понятие параллельности прямых. [1]
Вспомним, какими аксиомами описывается афинная геометрия:
Аффинная геометрия на плоскости — это непустое множество X (элементы которого называются «точками»), с непустым набором L подмножеств X (элементы которого называются «прямая»), таких, что:
- Для двух различных точек существует только одна прямая, которая содержит обе точки.
- Для прямой ℓ и точки p, не принадлежащей ℓ, существует одна и только одна прямая ℓ′, содержащая p, такая, что ℓ ∩ ℓ′ = ∅ .
- Существует множество из четырёх точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. [1]
Эти аксиомы дают нам возможность понять, как выглядит простейшая афинная плоскость в конечной геометрии:
Простейшая аффинная плоскость содержит лишь 4 точки, и называется аффинной плоскостью второго порядка. Каждая пара точек определяет уникальную прямую, поэтому указанная плоскость содержит 6 прямых. [1]
Не очень понятно? Всё верно. Если присмотреться к определению афинной геометрии, то можно заметить, что она оперирует с понятиями теории множеств (элемент, множество, подмножество).
Это значит, что прямые могут выглядеть совсем не как привычные прямые Евклидовой геометрии.
На самом деле так и есть. Если взглянуть на рисунок афинной плоскости второго порядка, то мы увидим такую картину:
Рис. 5. Афинная плоскость второго порядка. (Источник ru.wikipedia.org)
Точки здесь выглядят как обычные чёрные точки, а вот прямые — это разноцветные отрезки. Прямые одинакового цвета считаются параллельными.
Как легко заметить, прямые тут не бесконечной длины. По секрету скажу, что понятия длины тут вообще нет, а прямые могут иметь любую форму, как мы вскоре увидим.
Наверняка %username% до сих пор сомневается, что изображение этой плоскости удовлетворяет аксиомам афинной геометрии. Давайте проверим:
- Берём 2 любых точки, например, левую верхнюю и левую нижнюю.
Обе эти точки содержит только одна левая красная прямая.
Правая красная прямая не содержит ни одной из этих точек, а остальные прямые содержат только одну из них. - Берём левую красную прямую и правую верхнюю точку. Очевидно, что только одна прямая (правая красная) параллельна левой красной прямой, так как проходит через правую верхнюю точку, но не проходит ни через одну из двух левых точек.
- На рисунке хорошо видно, что какие бы 3 точки мы ни взяли, одна из них лежит на прямой, отличной от прямой, на которой лежат обе другие точки.
Две прямых, составляющие диагонали квадрата, не пересекаются, так как не имеют общих точек.
Если вы хорошо поняли содержание предыдущей картинки, то вот картинка посложней:
Рис. 6. Афинная плоскость третьего порядка. (Источник ru.wikipedia.org)
Здесь мы видим 9 точек и 12 прямых. Да-да, %username%, эти эллипсы — на самом деле прямые в терминах конечной геометрии.
Фигуры одинакового цвета — это параллельные прямые. Их трудно заметить, поэтому разделим картинку на несколько:
| Плоскость №1 | Плоскость №2 | Плоскость №3 | Плоскость №4 |
|---|---|---|---|
Рис. 7. Параллельные прямые афинной плоскости третьего порядка.
Здесь проверка выполнения аксиом займёт чуть больше времени:
- Берём 2 любых точки, например, центральную верхнюю и правую нижнюю. Через них проходит только одна из фиолетовых прямых.
- Берём левую красную прямую и правую нижнюю точку. Аналогично плоскости второго порядка, только одна правая красная прямая проходит через эту точку, но не проходит ни через одну из трёх левых точек.
- Здесь чуть сложнее, чем в случае с плоскостью 2 порядка. Формулировка аксиомы гласит, что нужно найти хотя бы одно (непустое) множество из четырёх точек, в котором никакие три не лежат не одной прямой.
Очевидно, что 12 множеств с тремя точками, через которых проходят линии на рисунке, не удовлетворяют этому условию. Но ему удовлетворяет, например, множество из четырёх угловых точек.
В более общем случае, конечная аффинная плоскость порядка n имеет n^2 точек и n^2 + n прямых; каждая прямая содержит n точек, и каждая точка принадлежит n + 1 прямой. [1]
С афинной геометрией закончили, переходим ко второму типу геометрии на плоскости — проективной.
В проективной геометрии наоборот, любые две прямые пересекаются в единственно возможной точке, и потому параллельных прямых не существует. [1]
Предыдущее предложение описывает вторую аксиому проективной геометрии. Первая и третья — такие же, как в афинной.
Поскольку третья аксиома требует существования как минимум четырёх точек, плоскость должна содержать как минимум 7 точек, чтобы удовлетворить условиям первых двух аксиом. В этой простейшей из проективных плоскостей имеется также 7 прямых; каждая точка принадлежит трём прямым, и каждая прямая содержит три точки. Такую проективную плоскость часто называют «плоскостью Фано». [1]
Рис. 8. Плоскость Фано. (Источник en.wikipedia.org)
На этом рисунке сложно сразу разобрать все 7 прямых, так что вот пони-вариант той же плоскости:
Рис. 9. Плоскость Фано с раскрашенными прямыми. (Источник mathpuzzle.com. Используется с разрешения Ed Pegg Jr.)
Итак, плоскость Фано — это проективная плоскость 2 порядка с 7 точками и 7 линиями.
При чём тут карточки?
Что будет, если мы переформулируем 2 аксиомы конечной геометрии, заменив “прямую” на “символ” и “точку” на “карточку”?
Получится вот что:
- Для двух различных карточек существует только один символ, который изображён на обеих карточках.
- Для двух различных символов существует только одна карточка, которая содержит оба этих символа.
Теперь на основе этих знаний посмотрим, как выглядел бы Доббль в простейшем случае. В нём было бы 7 карточек и 7 символов, на каждой карточке было бы по 3 символа (т.к. в одной точке пересекаются 3 прямые):
Рис. 10. Пример минимально возможного набора карточек для Доббля.
Тут используются следующие 7 символов:
, , , , , ,
Какие бы 2 карточки мы ни взяли, они будут иметь общий символ, изображённый рядом с прямой, на которой лежат обе карточки.
Например, у карточки в левом нижнем углу и карточки в середине правой грани общий символ . Он изображён рядом с прямой .
Проективные плоскости малых порядков
На сайте Wolfram можно найти визуальную демонстрацию проективных плоскостей малых порядков: http://demonstrations.wolfram.com/ProjectivePlanesOfLowOrder/
Она оформлена в виде документа в формате CDF (Computable Document Format), для которого нужно установить CDF Player.
Вот пример проективной плоскости 3 порядка:
Рис. 11. Изображение проективной плоскости 3 порядка.
Трудно понять, что происходит, поэтому возьмём 2 произвольные прямые:
Рис. 12. Пересечение двух линий проективной плоскости 3 порядка.
Как мы видим, они пересекаются ровно в одной точке. Сами линии содержат по 4 точки.
Чтобы убедиться, что через каждую точку проходит 4 прямые, придётся переключать отображаемые пары прямых в интерактивном документе и сосредоточить внимание на какой-то точке.
Проективные плоскости более высоких порядков изображены на рисунках ниже.
Рис. 13. Проективная плоскость порядка 4
Рис. 14. Проективная плоскость порядка 5
Рис. 15. Проективная плоскость порядка 7
В приведённой последовательности отсутствует изображение для проективной плоскости 6 порядка. Это не ошибка.
Хотя Wolfram генерирует графическое представление такой структуры, она не удовлетворяет аксиомам проективной геометрии, и не является проективной плоскостью.
Предполагается, но до сих пор не доказано, что порядок конечной плоскости всегда является степенью простого числа. [1]
Как построить проективную плоскость?
Графическое представление проективной плоскости выглядит интересно и наглядно, но как найти такую комбинацию точек, чтобы она обладала вышеописанными свойствами?
Проще всего — посетив сайты, где размещены предрасчитанные данные для проективных плоскостей разных порядков.
Например, для проективной плоскости 7 порядка можно посетить такую страницу: https://web.archive.org/web/20170619110638/https://www.uwyo.edu/moorhouse/pub/planes/pg27.txt
Там представлена матрица из чисел. Строки — это карточки (точки) в понятиях Доббля. Числа в строках — это порядковые номера символов (линий), начиная с нуля, которые нарисованы на каждой карточке (проходят через данную точку).
Также можно воспользоваться услугами математических пакетов, таких, как Matlab, чтобы построить матрицу инцидентности проективной плоскости. [2] [3]
Матрицы инцидентности
Матрица инцидентности — одна из форм представления графа, в которой указываются связи между инцидентными элементами графа (ребро(дуга) и вершина). Столбцы матрицы соответствуют ребрам, строки — вершинам. Ненулевое значение в ячейке матрицы указывает связь между вершиной и ребром (их инцидентность). [2]
Одним из простейших примеров матрицы инцидентности может служить матрица размером 2х1 для неориентированного графа из двух вершин, соединённых одним ребром:
Рис. 16. Неориентированный граф из двух вершин, соединённых одним ребром, и его матрица инцидентности.
Более сложный пример графа и его матрицы инцидентности:
Рис. 17. Неориентированный граф с 4-мя вершинами и его матрица инцидентности.
Как видно из последнего примера, в матрице инцидентности графа в каждом столбце ровно две единицы, т.к. одно ребро соединяет две вершины.
Проективная плоскость является гиперграфом, так как одна прямая (ребро) соединяет несколько точек (вершин). Поэтому в матрице инцидентности проективной плоскости единицы в каждом столбце встречаются n+1 раз, где n — порядок проективной плоскости.
Для плоскости Фано, изображённой на рис. 9, матрица инцидентности будет иметь следующий вид:
Рис. 18. Матрица инцидентности плоскости Фано.
Для упрощения восприятия нули не показаны, а единицы заменены на символ Х.
В таком представлении проективной плоскости хорошо заметен принцип двойственности точек и прямых — прямая проходит ровно через 3 точки, и, в то же время, точка принадлежит ровно трём прямым.
Построение проективной плоскости перебором
Текущих знаний о свойствах матрицы инцидентности достаточно, чтобы построить её для проективной плоскости любого порядка n. Для этого можно использовать следующий псевдокод:
Для всех столбцов
Для всех строк
Если в столбце стоит n+1 единиц, то перейти к следующему столбцу
Если в строке стоит n+1 единиц, то перейти к следующей строке
Для каждого предыдущего столбца Х
Если в столбце Х на текущей строке стоит единица
и
Если уже есть совпадения в строках для столбца Х и текущего столбца,
то перейти к следующей строке
Поставить единицу
Перейти на следующую строку
Перейти на следующий столбецСледуя этому алгоритму, мы получим симметричную матрицу для плоскости Фано:
Рис. 19. Матрица инцидентности плоскости Фано, построенная по алгоритму псевдокода.
Эта матрица не совпадает с предыдущей. На самом деле, это неважно.
Перестановка любых двух строк матрицы инцидентности равносильна перенумерации вершин графа.
Перестановка любых двух столбцов матрицы инцидентности равносильна перенумерации рёбер графа (если их заранее пронумеровать).
Матрица инцидентности для игры Доббль
Для игры Доббль в матрице инцидентности строки отвечают за карточки, а столбцы — за символы на них.
Таким образом, перестановка любых двух столбцов матрицы инцидентности равносильна изменению очерёдности следования символов на карточке. Однако, символы на карточке неупорядочены, поэтому данная операция не влияет на внешний вид карточек.
Перестановка двух строк означает, что на всех карточках два соответствующих символа заменяют друг друга.
Последняя операция меняет внешний вид карточек, а значит, что тот набор символов, который мы видим в игре — лишь одна из возможных комбинаций.
Количество наборов символов для отдельно взятой карточки есть сочетание без повторений из 57 элементов по 8 элементам. Оно вычисляется по формуле
Матрица инцидентности для игры Доббль показана в таблице ниже. Она транспонирована, т.е. строки — это символы, а столбцы — это карточки (картинка кликабельна). Хабр не даёт вставить картинку нужного размера и качества, поэтому фулсайз вариант отдельной ссылкой: https://github.com/Skybladev2/DobbleMathModel/blob/master/images/Dobble%20incidence%20matrix.png
Рис. 20. Матрица инцидентности игры Доббль.
Каких двух карточек не хватает в комплекте игры?
Всего в таблице с матрицей инцидентности игры 57 строк и 55 столбцов. Это значит, что в игре могло быть ещё 2 карточки.
Значит, символы, которые должны быть на этих карточках, встречаются в игре реже, чем остальные. Количество символов в игре показано в последнем столбце таблицы.
Количество символов с недостающих карточек таково:
- , , , , , , , , , , , , и
(всего 14 символов) встречаются по 7 раз. - встречается 6 раз.
Как выглядят недостающие карточки? Для ответа на этот вопрос возьмём любой из представленных выше символов в матрице инцидентности (кроме снеговика), и поместим его на недостающую карточку (например, предпоследний столбец).
Затем найдём все карточки (столбцы), на которых изображён этот символ. Это значит, на всех этих карточках символы совпадают, и других совпадений быть не может.
Так как на этих карточках уже есть совпадение с выбранным символом, вычеркнем из предпоследнего столбца все символы, которые встречаются на остальных карточках.
Недостающие символы, которые не были вычеркнуты, и составляют символы одной из оставшихся карточек. Так как их получилось ровно 8, то вид второй недостающей карточки определяется однозначно.
Вот эти 2 карточки:
Рис. 21. Возможный вид недостающих карточек №56 и №57.
Осталось ответить на последний вопрос — не влияет ли отсутствие этих карточек на свойство совпадения единственного символа между двумя карточками (т.е. вдруг между какими-то карточками нет совпадений)?
Ответ на него очевиден, если ещё взглянуть на матрицу инцидентности игры — нет, не влияет. Между любыми двумя карточками (столбцами) по-прежнему единственное совпадение.
Почему в игре на 2 карточки меньше максимально возможного количества?
Изначально правила для пяти мини игр были не в буклете, а на пяти отдельных карточках. При этом максимум можно было напечатать лишь 60 карточек. Поэтому авторы игры решили убрать 2 карточки, чтобы в итоге получилось 55 карточек с символами + 5 карточек с правилами. (Отдельное спасибо Guillaume Gille-Naves за разъяснение).
Благодарности
Выражаю огромную благодарность сети магазинов настольных игр “Игровед” за помощь в написании статьи.
Благодарю Ed Pegg Jr за предоставленное изображение плоскости Фано.
Отдельно хочу отметить одного анонимуса и Master-а за помощь в проверке статьи.
Благодарю магазин «Настольный град» за помощь в подготовке к публикации статьи.
От всего сердца благодарю авторов игры Igor Polouchine, Denis Blanchot, Guillaume Gille-Naves, а также компанию Asmodee за предоставленное право на использование изображений из игры.
Если эта публикация вас вдохновила и вы хотите поддержать автора — не стесняйтесь нажать на кнопку
OBJECTIVE OF DOBBLE: The objective of Dobble, also called Spot It is to win points by finding out the unique symbol shared by two cards.
NUMBER OF PLAYERS: 2+
NUMBER OF CARDS: 55 cards(rondes) with eight different symbols
TYPE OF GAME: visual recognition observation game
AUDIENCE: 8+
OVERVIEW OF DOBBLE (SPOT IT)
Dobble, also called Spot It (in the USA) is a fast-paced, kid-friendly with the objective of matching cards faster than your opponents. In the USA, Spot It (Dobble) has sold more than 12 million copies since it was initially released in 2019. This game helps develop the memory, perception, and fine motor skills of young brains, making it a perfect developmental game for young children!
In this article, we will go over the rules and strategies of Spot It ( Dobble) and will also give you some recommendations on where to buy the game!
HOW TO DEAL DOBBLE (SPOT IT)
For the basic rule (Infernal Tower):
- Deal a card to each player and keep it face down.
- Place the remaining cards in the middle. They will form the deck.
HOW TO PLAY DOBBLE (SPOT IT)
The goal is to discover the one identical symbol between two cards. The symbols are identical (same shape, same colour, only the size varies). There is always exactly one symbol in common between any pair of cards in the game. This makes Dobble great for mini games!
All players play at the same time. No matter which variant is played, you must always:
- be the fastest to locate the identical symbol between 2 maps,
- name it out loud
- then (depending on the variant), take the card, put it down or discard it.
The rules below are for the mostly played variant of Dobble, called The Infernal Tower.
Aim of the game:
Collect as many cards as possible.
Gameplay
- As soon as the game starts, players turn over their cards.
- Each player must then find the identical symbol between their card and the card in the center of the table (on the draw pile).
- If a player finds an identical symbol, he
- Names it,
- Takes possession of the card concerned
- Places it in front of him on his card.
- By taking this card, he reveals a new card.
HOW TO WIN DOBBLE (SPOT IT)
- This simple pattern recognition game stops when all the cards in the deck have been acquired by the players.
- The winner is the player with the most cards.
Here is a children’s mini-game version of Dobble, with only 6 images per card.
Enjoy this hilarious card game! 😊
VARIATIONS OF DOBBLE (SPOT IT)
THE WELL
- Setup: Deal all the cards between the players, one by one. Place the last card on the table, face up. Each player shuffles his or her cards to form a deck in front of him or her, face down.
- Goal: get rid of all your cards before the others, and above all, don’t be the last one!
- How to play: Players flip their deck over, face up. You must discard the top card from your draw pile by placing it on the center card. The player who is quickest to name a symbol shared by his card and the center card can place his card in the center. You have to be very quick because the center card changes each time a player places his or her card in the center.
- End of game: The player who discards all his cards first wins the game; the last one to do so loses the game.
THE POISONED GIFT
- Setup: Shuffle the cards and place one card face down in front of each player, then place the remaining cards in the middle of the players to form the draw pile, face up.
- Goal: to collect as few cards as possible from the deck.
- How to play: Players turn over their cards. Each player tries to find the identical symbol between another player’s card and the card from the draw pile, names it, takes the card from the middle, and puts it on the player’s card. By taking this card, he reveals a new card.
- End of game: The game continues until the draw pile is exhausted. The winner is the one with the fewest cards.
CATCH THEM ALL
To be played in several rounds.
- Setup: at each round, place a card, face up, in the middle of the players, then place as many cards as there are players around the central card, face down. The remaining cards are put aside and will be used for the following rounds.
- Goal: to collect as many cards as possible before the other players.
- How to play: Turn over all the cards around the center card; players must find a symbol shared by one of these cards and the center card. As soon as a player finds an identical symbol, he names it and takes the card (warning: never take the center card).
- End of game: as soon as all the cards have been retrieved (except the central card), the central card is put back under the deck, and a new round is started. The players keep the acquired cards. When there are no more cards left to play a new round, the game is over, and the winner is the player with the most cards.
THE HOT POTATO
To be played in several rounds.
- Setup: at each round, deal one card per player, who keeps it in his hand, face down, without looking at it. The remaining cards are put aside and will be used for the following rounds.
- Goal: get rid of your card faster than the other players.
- How to play: Players reveal their card by placing it flat in their hand so that each symbol is clearly visible. As soon as a player finds the symbol shared by his card and another’s, he names it and places his card on the opponent’s card. The latter must now use his new card to continue playing. If he can find a symbol shared by his new card and another player’s card, he gives all his cards at once.
- End of game: the player who ends up with all the cards loses the round and puts these cards on the table in front of him. Players play five or more rounds. When there are no more cards, the game is over. The loser is the player with the most cards.
- Author
- Recent Posts
Specializing in card games, board games, and beyond. Nakoa has unmatched passion for game mechanics and strategy. Trust in Nakoa’s expertise to learn how to play any game.