Рисование по клеточкам с инструкцией

В детском возрасте для правильного развития крайне важна игровая и творческая деятельность. Иногда получается сочетать эти два вида между собой и использовать в развивающих занятиях. Например, при помощи рисования.

Обучающая методика графического диктанта, или рисование по клеточкам, является популярным способом сформировать навыки владения карандашом и счёта, способствует развитию мелкой моторики, стимулирует внимание и память. Если она выполняется под диктовку, когда взрослый даёт пошаговую устную инструкцию к выполнению рисунка, ребёнок учится воспринимать на слух информацию и воспроизводить её на бумаге, концентрировать внимание на процессе обучения. К тому же это отличный способ развития пространственных категорий «вверх-вниз», «влево-вправо», «вперёд-назад». Если малыш не знает, какая картинка у него получится в результате, это способствует поддержанию интереса к занятию в течение всего диктанта и закреплению положительной мотивации на обучающую деятельность. Не все всегда получается с первого раза, и такое занятие станет отличным поводом научиться без слёз принимать свои ошибки и спокойно исправлять их, а также сформирует усидчивость и научит терпению.

Графический диктант.Фото: Pinterest

Существует три способа проведения графического диктанта:

Родитель/педагог диктует, в какую сторону и на какое количество клеток провести линию, малыш выполняет. Здесь оттачивается навык восприятия информации на слух, который пригодится с первых дней в начальной школе.
Ребенок получает образец картинки и самостоятельно пытается в точности воспроизвести её. Вариант задания – не обводить клетки по контуру, а заполнять их цветом. Стимулирует зрительную память.
Малышу предлагают только половину рисунка, а вторую половину он должен дорисовать сам как бы в зеркальном отражении. Так ребёнок познакомится с понятием симметрии. Данный способ больше подойдёт для младших школьников, поскольку задание несколько сложнее предыдущих.

В каком возрасте начинать занятия

Педагоги рекомендуют дождаться возраста 5–6 лет, когда малыш уже уверенно держит в руке карандаш, умеет считать и знаком с понятиями «вверх-вниз», «влево-вправо», хотя, если ваш ребёнок раньше усвоил эти знания и навыки, возраст младше 5 лет не будет помехой. Эту методику можно давать детям в качестве развивающей вплоть до 9–10 лет, постепенно усложняя задания.

Обязательно нужно учитывать индивидуальный темп развития крохи – то, что одному даётся с трудом, для другого в том же возрасте покажется слишком лёгким и поэтому скучным.

В старшем возрасте дети могут выполнять более сложные рисунки самостоятельно, и, возможно, любовь к рисованию останется с ними на протяжении всей их жизни. Ведь творчество даже взрослым помогает отдохнуть, снять нервное напряжение, стимулировать креативное мышление.

Сколько времени должно длится занятие

Чтобы ребёнок не устал и не потерял интерес к рисованию по клеточкам, важно соблюдать временные рамки, разные для каждого возраста. Для малышей 5 лет это время составляет 10–15 минут в день, дети 6 лет могут посвятить этому занятию 15–20 минут, а для первоклашек диктант можно продлить до 25 минут. Если маленький вундеркинд утверждает, что не устал и желает ещё, конечно, не стоит лишать его удовольствия порисовать столько, сколько ему хочется.

Материалы и инструменты

Для выполнения первых рисунков необходима тетрадь или блокнот в клетку, ластик и карандаш, по желанию – цветные карандаши или восковые мелки для раскрашивания. Для самых маленьких подойдет тетрадка в крупную клетку, а при выполнении сложных рисунков можно поискать в канцелярских магазинах тетради формата А4.

Также родителю следует запастись временем и терпением, чтобы графический диктант стал очередным поводом для общения с малышом, приятным для обоих.

Совет: пока ребёнок не наберется сноровки, диктуйте медленно, по одному шагу, давая ему время подумать и выполнить действие. Спешка может убить интерес к полезному занятию. Также не ругайте малыша за ошибки – наберитесь терпения, у него обязательно все получится со временем.

Задания разного уровня сложности

Для детей 5–6 лет

Рисунок 1. Щенок

Рисунок по клеточкам «Щенок». Фото: Baby.ru

Инструкция:

от верхнего левого угла страницы отсчитываем 7 клеток вправо, 2 клетки вниз – это будет начало рисунка;
1 клетка вниз;
2 клетки вправо;
2 клетки вниз;
1 клетка вправо;
2 клетки вниз;
2 клетки влево;
1 клетка вверх;
1 клетка влево;
3 клетки вниз;
2 клетки влево;
1 клетка вверх;
1 клетка влево;
1 клетка вниз;
2 клетки влево;
4 клетки вверх;
1 клетка влево;
1 клетка вверх;
1 клетка вправо;
1 клетка вниз;
5 клеток вправо;
2 клетки вверх;
1 клетка влево;
1 клетка вверх;
1 клетка вправо.

Получился силуэт милого щенка – теперь ему нужно пририсовать глазик и при желании раскрасить.

Рисунок 2. Золотой ключик

Рисунок по клеточкам «Золотой ключик». Фото: Baby.ru

Инструкция:

начало рисунка – в середине страницы;
8 клеток вправо;
2 клетки вверх;
3 клетки вправо;
5 клеток вниз;
3 клетки влево;
2 клетки вверх;
4 клетки влево;
3 клетки вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вверх;
1 клетка влево;
1 клетка вниз;
1 клетка влево;
3 клетки вверх;
1 клетка влево;
1 клетка вверх.

Рисунок 3. Слоник

Рисунок по клеточкам «Слоник». Фото: Baby.ru

Инструкция:

начало рисунка – 4 клетки влево от верхнего правого угла страницы, 3 клетки вниз;
7 клеток вниз;
2 клетки влево;
3 клетки вверх;
1 клетка влево;
3 клетки вниз;
2 клетки влево;
4 клетки вверх;
1 клетка влево;
2 клетки вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вниз;
1 клетка влево;
2 клетки вверх;
1 клетка вправо;
3 клетки вверх;
4 клетки вправо;
1 клетка вниз;
3 клетки вправо.

Рисунок 4. Ёжик

Рисунок по клеточкам «Ёжик». Фото: Baby.ru

Инструкция:

начало рисунка: отступаем от верхнего левого угла страницы 3 клетки вниз, 5 клеток вправо;
1 клетка вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вниз;
1 клетка влево;
3 клетки вниз;
2 клетки вправо;
1 клетка вниз;
1 клетка вправо;
1 клетка вверх;
4 клетки вправо;
1 клетка вниз;
1 клетка вправо;
1 клетка вверх;
2 клетки вправо;
1 клетка вверх;
1 клетка влево;
1 клетка вверх;
1 клетка влево;
2 клетки вверх;
1 клетка влево;
1 клетка вверх;
1 клетка влево;
1 клетка вверх;
3 клетки влево.

Рисунок 5. Змейка

Рисунок по клеточкам «Змейка». Фото: Baby.ru

Инструкция:

начало рисунка: отступаем от верхнего левого угла страницы 8 клеток вниз, 2 клетки вправо;
1 клетка вправо;
1 клетка вниз;
1 клетка вправо;
4 клетки вверх;
3 клетки вправо;
4 клетки вниз;
1 клетка вправо;
7 клеток вверх;
2 клетки вправо;
2 клетки вниз;
1 клетка влево;
6 клеток вниз;
3 клетки влево;
4 клетки вверх;
1 клетка влево;
4 клетки вниз;
3 клетки влево;
2 клетки вверх.

Рисунок 6. Башня

Рисунок по клеточкам «Башня». Фото: Baby.ru

Инструкция:

начало рисунка: от верхнего левого угла страницы отступаем 3 клетки вправо и 1 клетку вниз;
2 клетки вправо;
2 клетки вниз;
1 клетка вправо;
2 клетки вверх;
2 клетки вправо;
2 клетки вниз;
1 клетка вправо;
2 клетки вверх;
2 клетки вправо;
3 клетки вниз;
1 клетка влево;
4 клетки вниз;
1 клетка вправо;
2 клетки вниз;
8 клеток влево;
2 клетки вверх;
1 клетка вправо;
4 клетки вверх;
1 клетка влево;
3 клетки вверх.

Задания для детей 6–7 лет

Рисунок 7. Кораблик

Рисунок по клеточкам «Кораблик». Фото: Baby.ru

Инструкция:

начало рисунка – от верхнего левого угла страницы отступаем 6 клеток вправо, 1 клетку вниз;
1 клетка вправо;
1 клетка вниз;
1 клетка вправо;
1 клетка вниз;
1 клетка вправо;
1 клетка вниз;
1 клетка вправо;
3 клетки вниз;
3 клетки влево;
1 клетка вниз;
5 клеток вправо;
1 клетка вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вниз;
7 клеток влево;
1 клетка вверх;
1 клетка влево;
1 клетка вверх;
1 клетка влево;
1 клетка вверх;
5 клеток вправо;
7 клеток вверх.

Рисунок 8. Котик

Рисунок по клеточкам «Котик». Фото: Baby.ru

Инструкция:

начало рисунка: от верхнего левого угла страницы отступаем 3 клетки вправо и 4 клетки вниз;
1 клетка вправо;
1 клетка вниз;
2 клетки вправо;
1 клетка вверх;
1 клетка вправо;
2 клетки вниз;
5 клеток вправо;
2 клетки вверх;
1 клетка влево;
1 клетка вверх;
2 клетки вправо;
8 клеток вниз;
1 клетка влево;
2 клетки вверх;
1 клетка влево;
2 клетки вниз;
1 клетка влево;
2 клетки вверх;
3 клетки влево;
2 клетки вниз;
1 клетка влево;
2 клетки вверх;
1 клетка влево;
2 клетки вниз;
1 клетка влево;
3 клетки вверх;
1 клетка влево;
4 клетки вверх.

Этому мурлыке просто необходимо дорисовать глазки и шикарные усы!

Рисунок 9. Рыбка

Рисунок по клеточкам «Рыбка». Фото: Baby.ru

Инструкция:

начало рисунка: от верхнего левого угла страницы отступаем 7 клеток вправо и 2 клетки вниз;
4 клетки вправо;
1 клетка вниз;
2 клетки вправо;
2 клетки вниз;
1 клетка вправо;
1 клетка вверх;
1 клетка вправо;
1 клетка вверх;
2 клетки вправо;
2 клетки вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вниз;
1 клетка вправо;
2 клетки вниз;
2 клетки влево;
1 клетка вверх;
2 клетки влево;
1 клетка вниз;
2 клетки влево;
1 клетка вниз;
4 клетки влево;
1 клетка вверх;
2 клетки влево;
1 клетка вверх;
2 клетки влево;
1 клетка вверх;
1 клетка вправо;
1 клетка вверх;
1 клетка вправо;
2 клетки вверх;
2 клетки вправо;
1 клетка вверх.

Рисунок 10. Черепаха

Рисунок по клеточкам «Черепаха». Фото: Baby.ru

Инструкция:

начало рисунка: от верхнего левого угла страницы отступаем 3 клетки вправо и 2 клетки вниз;
2 клетки вправо;
4 клетки вниз;
1 клетка вправо;
2 клетки вверх;
1 клетка вправо;
1 клетка вверх;
4 клетки вправо;
1 клетка вниз;
1 клетка вправо;
3 клетки вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вверх;
4 клетки влево;
1 клетка вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вверх;
1 клетка влево;
3 клетки вверх;
1 клетка влево;
2 клетки вверх.

Рисунок 11. Динозаврик

Рисунок по клеточкам «Динозаврик». Фото: Baby.ru

Инструкция:

начало рисунка: от верхнего левого угла страницы отступаем 5 клеток вправо и 2 клетки вниз;
2 клетки вправо;
1 клетка вниз;
1 клетка вправо;
8 клеток вниз;
6 клеток вправо;
1 клетка вниз;
1 клетка вправо;
1 клетка вниз;
1 клетка вправо;
1 клетка вниз;
1 клетка вправо;
1 клетка вниз;
1 клетка вправо;
1 клетка вниз;
2 клетки вправо;
1 клетка вниз;
3 клетки влево;
1 клетка вверх;
1 клетка влево;
1 клетка вверх;
2 клетки влево;
2 клетки вниз;
2 клетки влево;
2 клетки вверх;
4 клетки влево;
2 клетки вниз;
2 клетки влево;
12 клеток вверх;
3 клетки влево;
1 клетка вверх;
1 клетка вправо;
1 клетка вверх;
1 клетка вправо;
1 клетка вверх.

Рисунок 12. Самолётик

Рисунок по клеточкам «Самолётик». Фото: Baby.ru

Инструкция:

начало рисунка: от верхнего левого угла страницы отступаем 5 клеток вправо и 7 клеток вниз;
2 клетки вправо;
1 клетка вверх;
5 клеток вправо;
1 клетка вверх;
2 клетки вправо;
1 клетка вверх;
2 клетки вправо;
1 клетка вверх;
2 клетки вправо;
1 клетка вверх;
4 клетки вправо;
1 клетка вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вниз;
5 клеток вправо;
1 клетка вверх;
1 клетка вправо;
1 клетка вверх;
1 клетка вправо;
1 клетка вверх;
1 клетка вправо;
4 клетки вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вниз;
9 клеток влево;
1 клетка вниз;
1 клетка вправо;
1 клетка вниз;
2 клетки вправо;
1 клетка вниз;
2 клетки вправо;
1 клетка вниз;
4 клетки влево;
1 клетка вверх;
2 клетки влево;
1 клетка вверх;
2 клетки влево;
1 клетка вверх;
2 клетки влево;
1 клетка вверх;
7 клеток влево;
1 клетка вверх;
2 клетки вправо;
1 клетка вверх.

Рисунок 13. Улитка

Рисунок по клеточкам «Улитка». Фото: Baby.ru

Инструкция:

начало рисунка: от верхнего левого угла страницы отступаем 7 клеток вправо и 10 клеток вниз;
1 клетка влево;
2 клетки вверх;
1 клетка вправо;
1 клетка вниз;
1 клетка вправо;
2 клетки вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вниз;
2 клетки влево;
1 клетка вверх;
1 клетка влево;
4 клетки вверх;
1 клетка вправо;
1 клетка вверх;
4 клетки вправо;
1 клетка вниз;
1 клетка вправо;
6 клеток вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вниз;
6 клеток влево;
1 клетка вверх;
1 клетка влево;
8 клеток вверх;
1 клетка вправо;
1 клетка вверх;
8 клеток вправо;
1 клетка вниз;
1 клетка вправо;
6 клеток вниз;
2 клетки вправо;
4 клетки вверх;
1 клетка вправо;
2 клетки вниз;
2 клетки вправо;
2 клетки вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вниз;
2 клетки влево;
3 клетки вверх.

Рисунок 14. Лебедь

Рисунок по клеточкам «Лебедь». Фото: Baby.ru

Инструкция:

начало рисунка: от верхнего левого угла страницы отступаем 3 клетки вправо и 1 клетку вниз;
3 клетки вправо;
3 клетки вниз;
1 клетка вправо;
9 клеток вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вниз;
2 клетки вправо;
1 клетка вверх;
1 клетка вправо;
1 клетка вверх;
2 клетки вправо;
2 клетки вверх;
2 клетки вправо;
1 клетка вверх;
4 клетки вправо;
1 клетка вверх;
4 клетки вправо;
2 клетки вниз;
1 клетка влево;
2 клетки вниз;
1 клетка влево;
2 клетки вниз;
2 клетки вправо;
1 клетка вверх;
1 клетка вправо;
1 клетка вверх;
2 клетки вправо;
1 клетка вниз;
1 клетка влево;
3 клетки вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вниз;
2 клетки влево;
1 клетка вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вниз;
2 клетки влево;
1 клетка вниз;
7 клеток влево;
1 клетка вверх;
4 клетки влево;
2 клетки вверх;
2 клетки влево;
1 клетка вверх;
1 клетка влево;
3 клетки вверх;
1 клетка вправо;
2 клетки вверх;
1 клетка вправо;
6 клеток вверх;
2 клетки влево;
1 клетка вверх;
3 клетки влево;
1 клетка вверх;
2 клетки вправо;
1 клетка вверх;
1 клетка вправо;
1 клетка вверх.

Рисунок 15. Бабочка

Рисунок по клеточкам «Бабочка». Фото: Baby.ru

Инструкция:

начало рисунка: от верхнего левого угла страницы отступаем 1 клетку вправо и 1 клетку вниз;
2 клетки вправо;
1 клетка вниз;
2 клетки вправо;
2 клетки вниз;
1 клетка вправо;
2 клетки вниз;
1 клетка вправо;
3 клетки вверх;
1 клетка вправо;
3 клетки вниз;
1 клетка вправо;
2 клетки вверх;
1 клетка вправо;
2 клетки вверх;
2 клетки вправо;
1 клетка вверх;
2 клетки вправо;
3 клетки вниз;
1 клетка влево;
3 клетки вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вниз;
1 клетка вправо;
2 клетки вниз;
1 клетка вправо;
3 клетки вниз;
2 клетки влево;
1 клетка вверх;
2 клетки влево;
2 клетки вверх;
1 клетка влево;
1 клетка вверх;
1 клетка влево;
2 клетки вниз;
1 клетка влево;
2 клетки вверх;
1 клетка влево;
1 клетка вниз;
1 клетка влево;
2 клетки вниз;
2 клетки влево;
1 клетка вниз;
2 клетки влево;
3 клетки вверх;
1 клетка вправо;
2 клетки вверх;
1 клетка вправо;
1 клетка вверх;
1 клетка влево;
3 клетки вверх;
1 клетка влево;
3 клетки вверх.

Задания для детей 7–8 лет

Рисунок 16. Утка

Рисунок по клеточкам «Утка». Фото: Baby.ru

Инструкция:

начало рисунка: от верхнего левого угла страницы отступаем 2 клетки вправо и 4 клетки вниз;
3 клетки вправо;
1 клетка влево и вверх по диагонали;
1 клетка вправо и вверх по диагонали;
1 клетка вправо и вниз по диагонали;
1 клетка влево;
1 клетка вправо и вниз по диагонали;
1 клетка влево и вниз по диагонали;
2 клетки влево;
1 клетка влево и вверх по диагонали.

Рисунок 17. Чайник

Рисунок по клеточкам «Чайник». Фото: Baby.ru

Инструкция:

начало рисунка: от верхнего левого угла страницы отступаем 4 клетки вправо и 2 клетки вниз;
2 клетки вправо и вниз по диагонали;
1 клетка влево и вниз по диагонали;
1 клетка вправо;
2 клетки вверх;
1 клетка влево;
3 клетки вниз;
2 клетки влево;
1 клетка вверх;
1 клетка вверх и влево по диагонали;
1 клетка вверх;
1 клетка вправо и вниз по диагонали;
1 клетка вверх;
1 клетка вправо и вверх по диагонали.

Рисунок 18. Белка

Рисунок по клеточкам «Белка». Фото: Baby.ru

Инструкция:

начало рисунка: от верхнего левого угла страницы отступаем 2 клетки вправо и 4 клетки вниз;
2 клетки вверх и вправо по диагонали;
1 клетка вниз;
1 клетка вправо;
1 клетка влево и вниз по диагонали;
1 клетка вниз;
2 клетки вправо и вниз по диагонали;
2 клетки вверх;
1 клетка вправо и вверх по диагонали;
1 клетка вправо;
1 клетка вправо и вниз по диагонали;
1 клетка влево;
4 клетки вниз;
1 клетка влево и вниз по диагонали;
4 клетки влево;
1 клетка вправо и вверх по диагонали;
1 клетка вверх;
1 клетка влево и вверх по диагонали;
1 клетка вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вправо и вверх по диагонали;
2 клетки вверх;
1 клетка влево;
1 клетка вверх.

Рисунок 19. Цветок

Рисунок по клеточкам «Цветок». Фото: Baby.ru

Инструкция:

начало рисунка: от верхнего левого угла страницы отступаем 5 клеток вправо и 9 клеток вниз;
1 клетка влево;
2 клетки влево и вверх по диагонали;
1 клетка вверх;
3 клетки вправо и вниз по диагонали;
1 клетка вправо;
2 клетки вправо и вверх по диагонали;
1 клетка вверх;
3 клетки влево и вниз по диагонали;
2 клетки вверх;
2 клетки влево и вверх по диагонали;
1 клетка вверх;
1 клетка влево и вверх по диагонали;
1 клетка вправо;
1 клетка вправо и вверх по диагонали;
1 клетка вправо и вниз по диагонали;
1 клетка влево и вниз по диагонали;
2 клетки вправо;
1 клетка влево и вверх по диагонали;
1 клетка вправо и вверх по диагонали;
1 клетка вправо и вниз по диагонали;
1 клетка вправо;
1 клетка влево и вниз по диагонали;
1 клетка вниз;
2 клетки влево и вниз по диагонали.

Рисунок 20. Лошадка

Рисунок по клеточкам «Лошадка». Фото: Baby.ru

Инструкция:

начало рисунка: от верхнего левого угла страницы отступаем 2 клетки вправо и 4 клетки вниз;
1 клетка влево;
2 клетки вверх;
1 клетка вправо и вниз по диагонали;
1 клетка вверх;
4 клетки вправо и вниз по диагонали;
6 клеток влево;
2 клетки вправо и вниз по диагонали;
3 клетки вниз;
1 клетка вправо и вниз по диагонали;
4 клетки вверх;
1 клетка влево и вверх по диагонали;
1 клетка влево;
7 клеток вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вправо и вниз по диагонали;
1 клетка влево;
3 клетки вверх;
1 клетка влево и вверх по диагонали;
6 клеток влево;
4 клетки вниз;
1 клетка влево;
1 клетка вправо и вниз по диагонали;
1 клетка влево;
5 клеток вверх;
1 клетка влево и вверх по диагонали;
3 клетки вверх;
1 клетка влево и вниз по диагонали;
1 клетка влево;
3 клетки вверх.

Схемы для рисования по клеточкам

А ещё мы приготовили для вас небольшую подборку схем для рисования по клеточкам – как очень лёгких, так и посложнее, для самостоятельной срисовки.

Рисунок по клеточкам «Бабочка». Фото: Baby.ru

Источник

Графические Диктанты Для Дошкольников

Источник

Графический диктант по клеточкам для детей, большая подборка идей, от простого к сложному. Рисунки животных, растений, птиц, насекомых.

Очень важно сформировать у ребенка устойчивое слуховое внимание и усидчивость – необходимые условия успешной деятельности. Работа над графическими диктантами развивает способность к концентрации внимания, запоминание и воспроизведение ряда последовательных действий, контроль за собственной письменной деятельностью.

Графический диктант поможет подготовить руку ребенка к письму, заложит основу для формирования каллиграфически правильного письма. Он способствует развитию пространственных представлений, ориентации на листе тетради.

Все идеи с рисунками по клеточкам, которые мы предлагаем вашему вниманию, полезны и многофункциональны. Они тренируют и развивают у детей навыки, необходимые для успешной учебы в школе.

Графический диктант поможет

Подготовить руку ребенка к письму, что необходимо для формирования каллиграфически правильного письма;
Развить пространственные представления. Ребенку будет проще ориентироваться на листе тетради, а значит, допускать меньше ошибок и исправлений;
Сформировать у ребенка устойчивое слуховое внимание. Он научится слушать и слышать то, что говорит учитель;
Воспитать усидчивость, которая необходима для любой успешной деятельности;
Научиться концентрировать внимание, запоминать и воспроизводить ряд последовательных действий;
Контролировать свои действия при выполнении различных заданий.

Что понадобится для занятия:

Приготовьте для ребенка простой карандаш и ластик, чтобы исправлять ошибки;
Тетрадку или листы в клетку;
Цветные карандаши для дальнейшего усовершенствования рисунка;
Для себя закладку или линейку, чтобы не потерять в диктанте место, на котором вы остановились.

Перед занятием обратите внимание ребенка на то, что у каждого человека есть правая и левая рука. Объясните, что та рука, которой он держит ложку, рисует и пишет, – правая, другая – левая (для левшей – наоборот). Поговорите о том, что находится справа от него, а что слева. После этого можно учить ребенка ориентироваться на листе в тетради. Обсудите с ним, где у тетради левый край, где правый, где верх, где низ, как считать клеточки от заданной точки.

Во время занятия очень важен настрой ребенка и доброжелательное отношение взрослого. Помогайте ребенку, следите за его работой и вовремя исправляйте ошибки. Результат должен радовать ребенка, чтобы ему снова хотелось продолжать работу с интересом и воодушевлением.

Работу можно организовать по-разному:

Зрительный диктант. Образец предоставляется ребенку и он должен самостоятельно повторить точно такой же рисунок в тетради.
Слуховой диктант. Последовательность действий диктуется с указанием числа клеточек и их направлений (влево, вправо, вниз, вверх), дети выполняют работу на слух.

Если работа производится под диктовку, то взрослому следует говорить: вверх, вниз, вправо, влево, влево вверх, вправо вверх, вправо вниз и влево вниз. При самостоятельном выполнении ребенок может отмечать выполненные действия, например, зачеркивать цифры карандашом.

Как выполнить графический диктант по клеточкам

Например, в задании указано: 2↑ 4→ 5↘ 3↙. Значит, нужно провести линии на две клетки вверх и на четыре клетки вправо, на 5 клеток вправо вниз по диагонали и на 3 влево вниз по диагонали. Для удобства можно сначала, отсчитав нужное количество клеток в указанном направлении, поставить точку, а потом соединить ее линией с предыдущей точкой. При правильном выполнении задания в результате получится изображение с замкнутым контуром – предмет, растение, животное, которое указано в названии.

По окончании работы ребенок может (по желанию) раскрасить получившуюся картинку и дорисовать все, что ему хочется. Как правило, это могут быть глаза, улыбка, характерные пятна или дополнительные линии или узоры.

Графический диктант – это не только работа, но и увлекательная игра, метод обучения и развлечения одновременно. Выполняя графические диктанты, решая примеры, раскрашивая по цифрам, копируя картинки по клеточкам и дорисовывая их по точкам, можно не только весело провести время, но и приобрести полезные навыки, необходимые для учебы в школе. Развить творческое воображение, расширить кругозор.

Графический диктант по клеточкам: подборка разных идей

Все действия следует начинать от фиолетового кружочка.

Слон

4→ 1↓ 3→ 7↓ 2← 3↑ 1← 3↓ 2←

4↑ 1← 2↓ 1← 1↓ 1← 2↑ 1→ 5↑

Черепаха

2→ 4↓ 1→ 2↑ 1→ 1↑ 4→ 1↓ 1→ 3↓ 1←

1↓ 1← 1↑ 4← 1↓ 1← 1↑ 1← 3↑ 1← 2↑

Графический диктант : лягушка

1→ 1↓ 1→ 1↑ 1→ 1↓ 1↘ 1↓ 1↙ 1↘ 1↓ 1↗ 1↘

1↙ 1↘ 9← 1↗ 1↖ 1↗ 1↘ 1↑ 1↗ 1↖ 1↑ 1↗ 1↑

Медведь

7→ 1↑ 1→ 1↓ 2→ 1↓ 2→ 3↓ 1↙ 2← 1↙ 3↓

1→ 1↓ 4← 3↑ 4← 1↙ 1↓ 1→ 1↓ 4← 7↑ 3↗

Жираф

2↑ 3→ 1↑ 1→ 9↓ 7→ 10↓ 1← 6↑ 1← 6↓

1← 6↑ 3← 6↓ 1← 6↑ 1← 6↓ 1← 16↑ 2←

Бегемот

1↓ 1→ 1↘ 1↓ 5→ 1↘ 6↓ 2← 2↑ 1↙ 4← 1↖

1← 2↓ 1← 4↑ 1← 1↗ 2← 1↖ 1↑ 1↗ 2→ 2↗

Белка

7↑ 2↗ 2→ 2↘ 2↓ 1↙ 1← 1↖ 4↓ 1↙ 7← 1↑ 1→

1↖ 1↑ 1↗ 2← 1↑ 2→ 2↖ 2↗ 2↑ 3↘ 4↓ 1↘

Зайчик

2→ 1↑ 2↗ 4→ 1↘ 1↓ 4← 1↙ 1↘ 3↓ 2↙ 3↘ 1↑ 1↗ 1→ 1↘ 1↓ 1↙ 1← 2↓ 10← 1↑ 1↗ 3↑ 1↗ 2↖ 3↑ 1↗ 1↑ 1↖ 3← 1↑ 1↗ 3→ 2↘ 2↓

Кошка

1↘ 2→ 1↗ 3↓ 1↙ 5→ 4↑ 1→ 8↓ 2← 1↗

1↑ 5← 2↓ 2← 1↗ 1↑ 1↖ 1↑ 1↖ 3↑

Кролик

2↗ 2↓ 2↙ 4→ 2↘ 1→ 1↓ 1↙ 3↓ 4← 1↑ 1→ 1↖

2← 2↓ 2← 1↑ 1→ 1↑ 1↖ 1← 2↖ 1↑ 5↗ 2↓ 1↙

Собака

2→ 1↑ 2→ 1↑ 1→ 6↓ 10→ 4↑ 1← 12↓ 2← 1↑ 1→ 3↑ 2← 4↓ 2← 1↑ 1→ 3↑ 4← 4↓ 2← 1↑ 1→ 3↑ 2← 4↓ 2← 1↑ 1→ 9↑ 2← 2↑

Тюльпан

1→ 1↓ 1→ 1↓ 1→ 3↑ 1← 1↑ 1← 4↑ 1→ 1↓ 1→ 1↑ 1→ 1↓ 1→ 1↑ 1→ 4↓ 1← 1↓ 1← 3↓ 1→ 1↑ 1→ 1↑ 1→ 2↓ 1← 1↓ 1← 1↓ 3← 1↑ 1← 1↑ 1← 2↑

Мышь

1↗ 2↑ 2← 1↙ 2↓ 2↘ 3→ 3↑ 3↗ 1↖ 1↙ 2← 2↖ 2↑ 2↗ 2→ 1↘ 1↗ 1↖ 2↑ 2↗ 2→ 2↘ 2↓ 1↙ 4↘ 1↓ 1↙ 4← 3↘ 1↓ 1← 1↘ 1↓ 1↙ 7← 1↖

Самолет

1→ 1↑ 4→ 1↑ 1→ 1↑ 1→ 1↑ 1→ 1↑ 1→ 1↑ 4→ 1↓ 1← 1↓ 1← 1↓ 1← 1↓ 1← 1↓ 3→ 1↑ 1→ 1↑ 1→ 1↑ 1→ 1↓ 1→ 1↓ 1← 2↓ 1← 1↓ 5← 1↓ 1→ 1↓ 1→ 1↓ 1→ 1↓ 1→ 1↓ 4← 1↑ 1← 1↑ 1← 1↑ 1← 1↑ 1← 1↑ 5← 1↑

Слон

2→ 4↓ 1→ 2↓ 2→ 1↑ 1→ 1↑ 1→ 1↑ 4→ 1↓ 1→ 1↓ 1→ 2↓ 6→ 1↓ 2→ 6↓ 1← 6↓ 2← 5↑ 6← 5↓ 2← 7↑ 3← 1↑ 1← 1↑ 1← 2↑ 2← 1↑ 2← 2↑ 1← 6↑

Верблюд

1→ 1↑ 2→ 1↑ 1→ 1↓ 1→ 3↓ 1→ 1↑ 1→ 1↑ 1→ 1↑ 1→ 1↑ 1→ 1↓ 1→ 1↓ 1→ 1↓ 1→ 1↓ 1→ 1↓ 1→ 1↓ 1→ 2↓ 1→ 1↑ 3← 7↓ 3← 1↑ 1→ 4↑ 4← 5↓ 3← 1↑ 1→ 5↑ 1← 1↑ 1← 1↑ 1← 1↑ 1← 1↑ 1← 1↑ 1← 1↑

Белка

1→ 1↑ 1→ 1↑ 1→ 2↑ 1→ 1↓ 1→ 2↓ 1→ 1↓ 3→ 1↑ 1→ 1↑ 4→ 1↓ 2→ 1↓ 1→ 1↓ 1→ 2↓ 1→ 1↑ 1→ 2↑ 2← 2↑ 2← 1↑ 3← 2↑ 1← 2↑ 1→ 1↑ 2→ 1↑ 2→ 1↑ 3→ 1↑ 4→ 3↓ 1← 1↓ 1← 3↓ 1← 2↓ 1→ 1↓ 2→ 3↓ 1← 1↓ 1← 1↓ 2← 3↓ 1← 1↓ 1← 1↓ 6← 1↑ 2→ 1↑ 1← 2↑ 3← 1↓ 1← 2↓ 1← 1↓ 2← 1↑ 1→ 3↑ 1← 1↑ 2← 1↑ 2← 1↑ 2← 2↑

Кенгуру

1→ 1↑ 4→ 1↑ 1← 5↓ 1→ 1↑ 1→ 1↑ 2→ 1↓ 1→ 1↓ 1→ 1↓ 1→ 5↓ 1→ 1↓ 2→ 1↓ 3← 1↑ 1← 1↑ 1← 2↑ 1← 3↓ 1→ 1↓ 5← 1↑ 2→ 1↑ 1→ 1↑ 2← 2↑ 2← 1↓ 1← 2↑ 1→ 4↑ 3← 1↑

Крокодил

2→ 1↓ 4→ 2↑ 1→ 1↓ 1→ 1↑ 1→ 2↓ 2→ 1↑ 2→ 1↓ 1→ 1↑ 2→ 1↓ 1→ 1↑ 2→ 1↓ 1→ 1↑ 2→ 1↓ 1→ 1↑ 2→ 1↓ 2→ 2↑ 1← 1↑ 2← 2↑ 1← 3↑ 1→ 1↓ 1→ 2↓ 1→ 1↓ 1→ 1↓ 1→ 1↓ 1→ 2↓ 1← 1↓ 1← 1↓ 1← 1↓ 1← 1↓ 1← 1↓ 1← 1↓ 2← 1↑ 1→ 1↑ 1→ 1↑ 2← 1↓ 1← 1↓ 1← 1↓ 2← 1↑ 1→ 1↑ 1→ 1↑ 6← 1↓ 1← 1↓ 1← 1↓ 2← 1↑ 1→ 1↑ 1→ 1↑ 2← 1↓ 1← 1↓ 1← 1↓ 2← 1↑ 1→ 1↑ 1→ 1↑ 4← 1↑ 2← 1↑ 1← 2↑

Лисичка

5↘ 1↓ 1↗ 2↖ 3↑ 2↗ 2→ 1↗ 2↓ 1↙ 1↓ 2↘ 2↓ 1↙ 1↓ 2↙ 1← 1↖ 1↙ 4← 1↖ 1↙ 2← 1↗ 3↑ 1↖ 3↑ 1↗ 2← 3↖ 1↑ 3→ 2↗ 2↑ 2↘ 1→ 2↑ 2↘ 4↓ 2↙

Гриф

2→ 1↑ 1→ 1↘ 1↙ 2↓ 1→ 1↓ 1→ 2↗ 4→ 2↘ 2← 1↖ 1↓ 1← 1↓ 1← 1↓ 4← 1↙ 1→ 1↓ 1← 1↘ 1↓ 1← 1↓ 1← 1↑ 1← 1↑ 1↗ 1← 1↑ 1→ 1↖ 4← 1↑ 1← 1↑ 1← 1↑ 1↙ 2← 2↗ 4→ 2↘ 1→ 1↑ 1→ 2↑ 1← 1↙ 2↑

Ежик

6← 1↖ 3↑ 1↖ 1← 1↗ 1→ 1↗ 1↘ 1↗ 1↘ 1↗ 1↘ 2→ 1↙ 1↘ 1↙ 1↘ 1↙ 1↓ 1↙ 1↓ 1← 1↑ 3← 1↓ 1← 1↑ 2← 3↖ 1↑ 1→ 2↗

Графический диктант: краб

3↘ 3↓ 3↙ 3← 2↘ 1↓ 1↖ 1← 2↘ 1↓ 1↖ 1← 1↘ 1↓ 1↙ 1↑ 1↖ 1↙ 5← 1↖ 1↙ 1↓ 1↖ 1↑ 1↗ 1← 1↙ 1↑ 2↗ 1← 1↙ 1↑ 2↗ 3← 3↖ 3↑ 3↗ 4↓ 1↘ 3↑ 2↘ 4↓ 1↗ 1↑ 1↗ 1→ 1↘ 1→ 1↗ 1→ 1↘ 1↓ 1↘ 4↑ 2↗ 3↓ 1↗ 4↑

Бабочка

3→ 1↓ 1→ 1↓ 1→ 2↓ 1→ 2↓ 1→ 4↑ 1← 1↓ 3→ 1↑ 1← 4↓ 1→ 2↑ 1→ 2↑ 1→ 1↑ 1→ 1↑ 3→ 1↓ 1→ 2↓ 1← 2↓ 1→ 2↓ 1← 1↓ 4← 1↓ 2→ 1↓ 1→ 1↓ 1→ 3↓ 1← 1↓ 3← 1↑ 1← 3↑ 2← 5↓ 1← 5↑ 2← 3↓ 1← 1↓ 3← 1↑ 1← 3↑ 1→ 1↑ 1→ 1↑ 2→ 1↑ 4← 1↑ 1← 2↑ 1→ 2↑ 1← 2↑ 1→ 1↑

Верблюд

1↓ 1→ 1↘ 2↓ 2↘ 5↓ 2↗ 1→ 1↗ 1→ 2↘ 1↓ 2↗ 1→ 1↗ 1→ 2↘ 1↓ 1→ 2↘ 5↓ 1↘ 3← 1↗ 5↑ 1↖ 4↓ 1↙ 7↓ 1← 1↓ 3← 1↑ 1↗ 1→ 7↑ 1↙ 6← 1↖ 1↙ 7↓ 1← 1↓ 3← 1↑ 1↗ 1→ 6↑ 1↖ 1↑ 1← 1↖ 1↑ 1↖ 5↑ 2↖ 1↑ 2↙ 2← 2↑ 3↗ 1→ 1↗

Вертолет

1↑ 7→ 1↑ 1→ 1↓ 7→ 1↓ 7← 1↓ 2→ 1↓ 1→ 1↓ 1→ 1↓ 6→ 1↑ 1← 1↑ 1→ 1↑ 1→ 1↓ 1→ 1↓ 1← 2↓ 4← 1↓ 3← 1↓ 1← 1↓ 1← 1↓ 1← 1↑ 3← 1↓ 1← 1↑ 1← 1↑ 1← 1↑ 1← 2↑ 1→ 1↑ 1→ 1↑ 1→ 1↑ 2→ 1↑ 7←

Летучая мышь

5↑ 2↗ 3↘ 2↗ 1↖ 2↑ 1↗ 1↖ 2↑ 1↗ 2↘ 3→ 2↗ 1↘ 2↓ 1↙ 1↘ 2↓ 1↙ 2↘ 3↗ 2↘ 5↓ 3↖ 2↙ 2↖ 3↓ 2↙ 1→ 2↖ 1← 2↙ 1→ 2↖ 3↑ 2↙ 2↖ 3↙

Лис

1↗ 1→ 1↗ 1→ 1↗ 1↓ 1↗ 3↓ 7→ 1↑ 1→ 1↑ 2→ 1↑ 1→ 1↑ 2→ 1↑ 2→ 2↓ 2← 1↓ 1← 2↓ 2← 1↓ 2← 3↓ 1← 1↓ 1↘ 1↙ 1← 1↑ 1→ 1↖ 1↑ 1← 1↓ 1↘ 1↙ 1← 1↑ 1→ 1↖ 1↑ 3← 3↓ 2← 1↑ 1→ 4↑ 1← 1↑ 1← 1↑ 4←

Осьминог

1↗ 2→ 1↘ 2↓ 1↙ 1↘ 1→ 1↗ 1↑ 1↖ 1→ 1↘ 1↓ 2↙ 1← 1↖ 1↓ 2↘ 1↗ 1↓ 1↙ 3↖ 2↓ 2↙ 1↖ 1→ 1↗ 2↑ 1← 3↙ 1↖ 1→ 3↗ 1← 2↖ 1↑ 1↖ 1→ 1↘ 1↓ 1↘ 2→ 1↖ 2↑

Улитка

2↑ 2→ 3↓ 4← 5↑ 6→ 6↓ 2↙ 4← 3↖ 5↑ 3↗ 6→ 3↘ 3↓ 1↗ 3↑ 1↗ 1↖ 1← 1↑ 1→ 1↘ 1↓ 2→ 1↑ 1↗ 1→ 1↓ 1← 1↙ 1↘ 9↓ 10←

Попугай

3↑ 1→ 1↑ 2→ 1↑ 4→ 1↓ 1→ 1↓ 1→ 1↓ 2→ 1↓ 1→ 1↓ 2→ 1↓ 1→ 1↓ 1→ 2↓ 1→ 2↓ 1→ 3↓ 2→ 2↓ 3← 10↓ 2← 5↑ 1← 4↑ 1← 3↑ 1← 2↓ 3← 1↑ 2→ 2↑ 2← 1↑ 2← 1↑ 1← 1↑ 1← 2↑ 1← 2↑ 1← 2↑ 2← 1↓ 1←

Олень

2→ 1↑ 1→ 2↑ 2← 1↑ 1→ 2↓ 2→ 1↓ 1→ 1↑ 2→ 2↑ 1→ 1↓ 2← 7↓ 8→ 2↓ 1→ 1↑ 2← 10↓ 1← 6↑ 1← 6↓ 1← 6↑ 4← 6↓ 1← 6↑ 1← 6↓ 1← 6↑ 1← 7↑ 2← 2↑

Лошадь

2↘ 1↑ 1↘ 1→ 1↘ 1→ 1↘ 1→ 1↘ 12→ 2↘ 1→ 2↘ 5↓ 1← 4↑ 2↖ 1← 2↓ 2↘ 6↓ 1← 4↑ 3↖ 1← 2↓ 1↘ 4↙ 2↑ 2↗ 1↑ 2↖ 2← 1↙ 4↓ 1↘ 1↓ 2↖ 2↑ 2↖ 2↓ 1↙ 2↘ 2↓ 3↖ 3↑ 2↖ 1↑ 4↖ 1↙ 1← 1↙ 1← 3↑ 2↗ 3↑

Обезьяна

1↘ 1↗ 1→ 1↑ 1↘ 1↑ 1↘ 1→ 1↘ 1↗ 1↘ 1↓ 1↙ 1↖ 1↓ 1↘ 1↓ 1↙ 2← 1↓ 3→ 4↗ 1↖ 2→ 2↓ 5↙ 2← 2↘ 4↓ 1↙ 4→ 1↗ 2↑ 1↖ 1← 2↓ 1↖ 1↑ 1↗ 2→ 1↘ 3↓ 2↙ 3← 2↘ 3↓ 1→ 1↘ 3← 3↑ 3↖ 4← 3↙ 3↓ 3← 1↗ 1→ 3↑ 3↗ 1↖ 4↑ 2↗ 2← 5↖ 2↑ 2→ 1↙ 4↘ 3→ 1↑ 2← 1↖ 1↑ 1↗ 1↑ 1↙ 1↖ 1↑ 1↗

Графический диктант: цыпленок

2↖ 2↑ 1→ 1↘ 2↗ 2↑ 3↗ 4→ 3↘ 1↗ 2→ 2↙ 2→ 1↙ 1← 2↓ 1↙ 1↓ 4↙ 2↘ 2→ 1↓ 2← 3↖ 2← 3↓ 2→ 1↓ 3← 4↑ 1← 2↖ 2← 5↗ 2→ 2↘ 1↓ 2↙ 5←

Скорпион

1↙ 1→ 1↙ 1↘ 1← 1↖ 1← 2↓ 3↘ 1→ 1↑ 1↖ 1↗ 1↓ 1→ 1↑ 1↘ 1↙ 1↓ 1→ 3↗ 2↑ 1← 1↙ 1← 1↗ 1↖ 1→ 1↖ 1→ 1↘ 1→ 1↘ 2↓ 4↙ 1↓ 1→ 2↗ 1↘ 1↓ 1↖ 2↙ 1← 1↓ 2↘ 3↗ 1↘ 1↓ 1↖ 3↙ 2↖ 2↓ 2↘ 1→ 2↗ 1↘ 1↓ 1↖ 2↙ 1← 2↖ 1← 2↙ 3↓ 1↘ 1→ 2↗ 1← 1↗ 1↘ 1← 1↓ 2↙ 1← 2↖ 3↑ 2↗ 1← 2↙ 1← 2↖ 1↙ 1↑ 1↗ 2↘ 1→ 2↗ 2↑ 2↙ 3↖ 1↙ 1↑ 1↗ 3↘ 2↗ 1↑ 1← 2↖ 1↙ 1↑ 1↗ 2↘ 1→ 1↑ 4↖ 2↑ 1↗ 1→ 1↗ 1→

Лев

2↑ 1↗ 1↘ 1↑ 4→ 1↓ 1↗ 1↘ 4↓ 1↘ 5↓ 1↙ 3↓ 2↙ 5← 1↑ 1↖ 1↑ 1↖ 4↑ 1↖ 2↑ 2↗ 1↑ 1↘ 2↓ 1↘ 1↓ 4→ 1↑ 1↗ 2↑ 1↗ 1↘ 1↓ 1↘ 8→ 4↘ 1↓ 1↘ 5↓ 1→ 1↓ 1↙ 1← 1↖ 1↑ 1→ 5↑ 1↖ 3↓ 1↙ 3↓ 1↘ 2↓ 2↙ 2← 6↑ 1↘ 1↓ 1↘ 1↓ 1← 2↙ 2← 1↑ 1↗ 1→ 1↑ 2↖ 1↑ 4← 1↙ 1↘ 2↓ 2↙ 2← 5↑ 1↗ 1↓ 1↘ 2↓ 1← 2↙ 2← 1↑ 1↗ 1→ 1↑ 2↖ 1↑

Попугай

3← 2↖ 2↑ 2↗ 3→ 1↑ 1→ 1↗ 1↖ 1↗ 1↖ 1← 1↑ 1↖ 2↙ 2↘ 2↓ 1↙ 1↘ 4↓ 3↘ 1↙ 1← 2↖ 1← 2↓ 1← 1↗ 1↖ 2← 2↓ 1← 1↗ 3↖ 4↑ 2↗ 2← 1↖ 2→ 1↗ 1← 1↖ 2← 1↑ 1↗ 4→ 1↘ 2→

Графический диктант: филин

3↑ 1↗ 1↖ 2↑ 2↘ 1↗ 6→ 1↘ 2↗ 2↓ 1↙ 1↘ 3↓ 2↘ 4↓ 1↙ 1↘ 2← 1↖ 4↙ 2→ 2↖ 2← 2↙ 2→ 4↖ 1↙ 2← 1↗ 1↖ 4↑ 2↗ 1→ 1↘ 3→ 1↘ 1↗ 3→ 1↗ 1→

Смотрите также похожую подборку — рисунки по клеточкам.

Еще по теме:

Источник

Математическая продлёнка. Рисуем по клеточкам

Уровень сложностиПростой

Время на прочтение11 мин

Количество просмотров12K

Продолжаем серию заметок для занятий математического кружка. Героем нашего сегодняшнего рассказа будет листок в клеточку. Этот образ стал своеобразным символом школьной математики. На одних из нас он навевает депрессивную тоску, а на иных, действует, как возбудитель, вызывая маниакальное желание что-нибудь формулировать, строить, решать и доказывать. Равнодушных «к тетрадке в клеточку», я приглашаю просто порисовать что-нибудь: косичку или лабиринт, или енота. А мы пока обсудим вот какие клеточные вопросы:

Как в тетрадке в клеточку нарисовать квадрат площадью 13 клеток так, чтобы все его вершины лежали на пересечениях сетки?
Какие, вообще, квадраты можно вписать в квадратную решётку?
А сколько существует способов нарисовать таким образом прямоугольник с заданной площадью?
Портреты каких правильных многоугольников можно изобразить в тетрадке?
Какие существуют окружности, проходящие через пересечения сетки?

В наших рассуждениях мы сосредоточимся на точках, в которых пересекаются линии сетки. Бывают такие тетрадки для художников и дизайнеров, в которых вместо клеточек, только точки. Точки эти называются узлами и образуют регулярную квадратную решётку. В этой заметке мы будем опускать эти уточняющие характеристики и просто говорить о решётке, имея в виду, что она регулярная и квадратная. Хоть мы и будем работать на обычной евклидовой плоскости, никакие точки, кроме узлов решётки, не будут концами отрезков, вершинами углов или многоугольников. Расстояние между узлами будем вычислять по Евклиду, а за единицу длины выберем один шаг решётки. Площади фигур будем измерять в единицах, определяемых минимальной квадратной ячейкой сетки.

Прямоугольники

Начиная класса с пятого, мы становимся мастерами по рисованию в тетрадке в клеточку прямоугольников с целочисленной площадью. Если площадь выражается простым числом — рисуем длинную «колбасу», шириной в одну клеточку, если составным — разбиваем на ряды и столбцы. Однако вписать в сетку прямоугольник заданной площади можно и иначе. Вот, например, какими разными способами можно построить прямоугольники площадью в 4 или в 5 клеток:

Варианты размещения на сетке прямоугольников площадью 4 и 5 клеток.

Позволив линиям наклониться, мы открыли для себя новое пространство вариантов и в нём, как оказывается, простое число 5 можно представить квадратом, а число 4 имеет три различных разложения на множители.

Давайте исследуем эти новые возможности и ответим на ряд вопросов: сколько существует способов построить прямоугольник заданной площади, используя для размещения его вершин узлы единичной решётки? Как получить исчерпывающий список таких способов? Что эта информация может сообщить о числе, которым выражается площадь? Какие числа можно представить квадратом, а какие нет?

Вспомним стандартный «школьный» подход и рассмотрим целое число , задающее площадь прямоугольника. Пусто оно имеет делителей, включая единицу и . В этом случае мы получаем разных прямоугольников для чётного и — для нечётного. Например, у существует 6 делителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12, так что из них можно составить 3 разных (неконгруэнтных) прямоугольника: 1×12, 2×6 и 3×4. В то же время, число 36 имеет 9 делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 и разлагается в 5 пар: 1×36, 2×18, 3×12, 4×9, и 6×6. Наконец, для простых площадей есть единственное представление, в виде произведения единицы на себя, и прямоугольники такой площади выглядят, как ряд клеток.

Разрешая себе использовать диагонали, мы открываем внутри регулярной квадратной решётки множество квадратных подрешёток, каждую из которых задают два натуральных числа. Вот некоторые из них:

Здесь пары чисел определяют, так называемый, генератор подрешётки: отрезок или вектор с координатами (a, b), который задает размеры и ориентацию элементарной ячейки подрешётки.

Площади ячеек в каждой подрешётке, определяемой парой , равны . Эту площадь мы будем называть нормой подрешётки. Перебирая пары взаимно простых чисел, можно перечислить возможные площади элементарных квадратов в подрешётках: 2, 5, 10, 13, 17, 25, 26, 29, 34, 37,… Все эти числа являются суммами квадратов целых чисел. Получается, что для прямоугольника, площадь которого кратна сумме квадратов, существует способ его построения через соответствующую подрешётку.

Что объединяет суммы квадратов? Ещё в 1625 году французский математик Альберт Жирар заметил, что простые числа, дающие при делении на 4 остаток равный 1, можно представить, как сумму квадратов. Немногим позже, в 1640 году, Пьер Ферма в рождественском письме Мерсенну привёл более точную формулировку этого утверждения, а исчерпывающее доказательство было дано Леонардом Эйлером. С тех пор это свойство называют теоремой Ферма-Эйлера, или Рождественской теоремой Ферма.

Эта теорема появилась в наших рассуждениях не случайно. Она лежит в основе многих теоретикочисловых построений и существует множество её доказательств. Чтобы не перегружать эту статью, приведу вместо доказательства две ссылки на замечательные материалы по теме: статью Суммы квадратов которую А. Спивак написал для математического кружка МГУ, и видео с канала Mathologer.

Кроме того, ещё со времён Диофанта известно, что произведение сумм квадратов само является суммой квадратов. Это утверждение сейчас называется тождеством Брахмагупты-Фибоначчи. Отсюда следует общее утверждение:

Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда ни одно простое число вида не входит в его разложение на простые множители в нечётной степени.

Благодаря, этому свойству, можно для любого числа выяснить, на каких решётках можно разместить прямоугольник соответствующей площади. Рассмотрим, в качестве примера, число 20. Перечислим его множители: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Вычисляя остатки от деления простых множителей на 4, обнаруживаем, что среди множителей только три числа являются суммами квадратов: 2 = 1² + 1², 5 = 1² + 2² и 10 = 2×5 = 1² + 3². Выделим с их помощью пять разложений числа 20 на трёх подрешётках:

$\begin{array}{ll} 20 = 2×(1×10) = 2×(2×5)& \text{на подрешётке} \ (1,1)\ \text{с нормой}\ 2 \\ 20 = 5×(1×4) = 5×(2×2)& \text{на подрешётке} \ (1,2)\ \text{с нормой}\ 5\\ 20 = 10×(1×2)& \text{на подрешётке} \ (1,3)\ \text{с нормой}\ 10 \end{array}$

Таким образом, кроме трёх прямоугольников 1×20, 2×10 и 4×5, опирающихся на основную решётку, мы получили ещё пять. Итого, 8 представлений, не больше и не меньше.

На рисунке показаны все возможные прямоугольники с вершинами в узлах единичной сетки, с площадями от 1 до 20 клеточек:

Одинаковым цветом обозначены прямоугольники, построенные на одинаковых подрешётках. Красным контуром выделены квадраты. Синим контуром обозначены прямоугольники, которые можно нарисовать единственным способом.

Обратите внимание на то, как много при таком построении получается правильных квадратов. Гораздо больше, чем на единичной решётке! Примечательно, что для некоторых площадей способ построения прямоугольника остаётся единственным и тривиальным: в виде цепочки единичных квадратиков, вписанных в основную решётку. Вот эти площади: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83,… Это так называемые гауссовы простые числа, то есть, такие натуральные простые числа, которые не раскладываются в сумму двух квадратов. Согласно теореме Ферма-Эйлера, все такие числа должны, при делении на 4, давать остаток 3.

Мой опыт показывает, что такое самостоятельное исследование оказывается чрезвычайно полезным для учеников 5-8 классов. Оно усиливает «чувство числа», прививает соображения о том, как можно отыскать площадь фигуры компонуя её части, и даёт опыт постановки нетривиальной задачи и обнаружения исчерпывающего решения, состоящего из нескольких вариантов. Очень рекомендую построить такой атлас прямоугольников с детьми, изучающими школьный курс математики!

Ну, а для тех, кто со школьным курсом более или менее, уже разобрался, скажу, что регулярную квадратную решётку, которую мы использовали для рисования, можно отождествить с кольцом гауссовых чисел. Это комплексные числа с целыми вещественной и мнимой частями. О кольцах мы подробно говорили в статье Теория чисел на пальцах. Подрешётки являются идеалами в этом кольце, гауссовы простые числа — простыми элементами, а построение прямоугольников – разложением на множители вещественных целых чисел в этом кольце.

Например, легко убедиться в том, что . Это разложение соответствует квадратику площадью в 5 клеток, построенному на подрешётке. Поищите на картинке разложения гауссова числа

Квадраты соответствуют полным квадратам в гауссовых числах, которых, действительно существенно больше, чем в целых числах. Причём, многие гауссовы числа имеют более одного представления в виде суммы двух квадратов. Таковы, например, числа 25 = 5² = 3²+4² или 169 = 13² = 5²+12². Их легко выявить, распознав в них пифагоровы тройки. Применительно к прямоугольникам это значит, что прямоугольник площадью 25 клеточек можно нарисовать либо как квадрат 5×5 на подрешётке либо, как квадрат 1×1 на подрешётке .

Все нетривиальные представления прямоугольника, площадью в 25 клеточек.

Если интересно, отыщите самостоятельно все возможные прямоугольники с площадью 100 клеточек (их должно получиться 16 штук) и 2023 клеточек (6 штук).

Правильные многоугольники

А что ещё такого правильного можно нарисовать «по клеточкам»? Уже очевидно, что прекрасно будут получаться квадраты? А как насчёт иных фигур?

Итак, мы выяснили, что внутри регулярной квадратной решётки содержится множество других подрешёток, тоже регулярных и тоже квадратных. Элементарными ячейками этих подрешёток и будут все возможные квадраты с вершинами, расположенными в узлах решётки. Их площади выражаются числами, которые могут быть представлены в виде суммы двух квадратов, либо сами являются квадратами натуральных чисел. Вот начало ряда таких чисел: 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 20, 25, 26, 29…

Таким образом, недоступными для построения останутся квадраты с площадью в 3, 6, 7, 11, 12, 14, 15, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 27, 28, 30,… клеток. Все эти числа содержат в качестве множителя число, дающее остаток 3 при делении на 4.

Кстати, это обстоятельство позволяет имея нарисованный на бумаге рисунок, перерисовать его «по клеточкам», пропорционально увеличив его масштаб и используя одну и ту же сетку. Но масштаб увеличения, при этом, ограничен суммами двух квадратов.

Масштабирование енота с помощью одной и той же сетки. Следите за глазами, по ним можно увидеть, что площадь енота увеличилась в 1² + 1² = 2 и в 1² + 2² = 5 раз.

А что с другими правильными фигурами: треугольниками, пятиугольниками и т.д.? Увы, кроме квадратов, вершины никакого другого правильного многоугольника в узлах квадратной решётки разместить не получится. Доказать это утверждение, достаточно просто и элегантно можно, используя наши знания о подрешётках.

Предположим, что нам удалось построить правильный многоугольник с вершинами, расположенными в узлах квадратной решётки. Каждая из сторон многоугольника является генератором своей подрешётки, а это значит, что отрезки, равные стороне, и перпендикулярные сторонам, тоже должны попадать как на узлы подрешётки, так и на какие-то узлы основной решётки. Такие отрезки называются ассоциированными.

Каждый отрезок формирует свою подрешётку (показана красными точками) и имеет три ассоциированных с ним отрезка (показаны синим цветом).

Рассмотрим отрезки, ассоциированные со сторонами многоугольника, и ориентированные в его внутреннюю часть. В силу симметрии, все концы внутренних отрезков должны сформировать такой же правильный многоугольник, но меньше исходного. Если мы станем применять это построение многократно, то рано или поздно, получим многоугольник с длиной стороны, не превышающей минимальное расстояние между узлами решётки, и таким образом, придём к противоречию.

Бесконечное масштабирование пятиугольника, с помощью отрезков, ассоциированных со сторонами.

В случае треугольника этот метод не уменьшает, а увеличивает фигуру. Однако, если бы мы могли построить правильный треугольник, то нам не составило бы труда сформировать из шести его копий правильный шестиугольник, а его, как мы уже доказали, построить невозможно. Таким образом, все похожие на правильные многоугольники фигуры, нарисованные по клеточкам, могут быть лишь приближениями. Вот некоторые особо удачные приближения, вполне пригодные для рисования на уроке геометрии:

Числами подписаны длины сторон.

Конечно, нам остаются доступны различные равносторонние фигуры, но у них будут не равны друг другу все углы, так что правильными их назвать будет нельзя.

Равносторонние, но не правильные многоугольники. Для их построения можно использовать пифагоровы тройки.

Невозможность существования правильных многоугольников с вершинами, расположенными в узлах регулярной квадратной решётки, само по себе, не сильно портит людям жизнь. Но это обстоятельство связано с ещё одним свойством решёток и гауссовых чисел, которое, начиная с восьмого класса, изрядно досаждает школьникам: несоизмеримость углов и тригонометрических функций — синусов косинусов и тангенсов.

Взгляните на таблицу значений тригонометрических функций для «хороших» углов. Кроме весьма особых 0°, 90°,180° и 270° нет ни одного столбца, не содержащего какой-нибудь иррациональный корень. Да и самых этих «хороших» углов очень мало: кроме тривиальных, только три: 30°, 45° и 60°. Наконец, и для этих углов синус и косинус не могут оказаться рациональными одновременно. Все же остальные углы мы не учим вовсе, потому что тригонометрия для них превращается в устрашающее нагромождение квадратных корней. В то же самое время, очень легко построить треугольник, в котором все тригонометрические функции принимают рациональные значения (как, например, в прекрасном «египетском» прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4 и 5), но тогда его углы оказываются несоизмеримыми с развёрнутым или прямым углом!

Почему это так довольно подробно разбирается в предыдущей статье из этой серии. Здесь мы только скажем, что среди углов, опирающихся на узлы решётки рациональные доли полного оборота представлены только углами, кратными 45°. Все же остальные, увы, выражаются иррациональными числами, если угловую меру определять через доли оборота.

Некоторые углы, близкие к целым значениям, кратным 10°, которые можно изобразить в тетрадке.

Невозможность построения на регулярной решётке правильных многоугольников, за исключением квадратов, можно вывести из несоизмеримости тригонометрии и углов, измеряемых в долях окружности. Если вспомнить теорему Пика, которую сейчас проходят в школе, то можно заключить, что площадь любого многоугольника, с вершинами, расположенными в узлах решётки, выражается как произведение целого числа и половины площади элементарной ячейки решётки. В то же время, площадь правильного -угольника со стороной , равна . Тангенс угла может быть рациональным только если (доказательство можно найти в упомянутой уже статье), так что площадь правильного -угольника не может быть соизмеримой с половиной единицы площади, что противоречит теореме Пика.

Окружности

Итак, с правильными многоугольниками мы разобрались. А что у нас с окружностями? Точки, лежащие на одной окружности называются конциклическими. Очевидно, что нет никаких проблем нарисовать какие угодно окружности, проходящие через два или три узла решётки. А что насчёт ровно четырёх, пяти или шести конциклических точек?

Существует теорема Шинцеля, которая утверждает, что для любого натурального можно построить окружность, проходящую ровно черезузлов решётки. Статья, в которой Андрэ Шинцель приводит своё доказательство занимает чуть больше страницы и представляет образец красивой математики. Но я не хочу развивать здесь эту тему, поскольку, центры этих окружностей не попадают на решётку и их в геометрии решётки, которую мы сейчас рассматриваем, как бы, не существуют.

Оригинальная статья Андрэ Шинцеля.

Давайте вместо этого зададимся вопросом а через сколько узлов может проходить окружность с центром в узле решётки?

Здесь опять имеет смысл обратиться к гауссовым числам. Пусть наша окружность с радиусом имеет центр в точке 0 и проходит через точку , а значит, . Мы уже знаем, что у каждого гауссова числа есть три ассоциированных с ним числа и . И все они имеют одинаковую норму. Это значит, если наша окружность проходит через один узел, то она обязана проходить ещё через три узла, ассоциированные с ним. Это сразу приводит к тому, что любая окружность с центром на решётке проходит через число точек, кратное четырём.

Ассоциированные (красные) и сопряжённые (зелёные) узлы для узла, выделенного синим цветом.

Кроме ассоциированных у гауссовых чисел есть ещё и сопряжённые числа, имеющие такую же норму. Для числа сопряжённым будет . И если узел, лежащий на окружности не соответствует вещественному числу, то кроме ассоциированных к нему добавятся ещё и сопряжённые с ними узлы. Таким образом, у любого узла, не лежащего на вещественной или мнимой осях, есть как минимум семь конциклических узлов. Однако, их может быть и больше.

Мы уже встречали числа, имеющие более одного представления в виде суммы двух квадратов, такие, как 25 или 100. Зная простые делители некоторого числа , можно определить количество способов разложить его в виде такой суммы. Все делители можно разбить на две группы: делящиеся на гауссовы простые числа, не делящиеся на них. Первые не имеют разложения в виде суммы квадратов, вторые — имеют. При этом, в следствие упомянутого тождества Брахмагупты-Фибоначчи, произведение сумм квадратов само является суммой квадратов. Таким образом получается число возможных комбинаций из двух квадратов (либо соответствующих им гауссовых чисел), дающих в сумме число

где и обозначают количество делителей числа , дающих, соответственно 1 и 3 в остатке при делении на 4. Ниже приведена диаграмма точек на квадратной регулярной решётке, на которой размер узла отражает число точек, конциклических с этим узлом.

А вот похожая и даже, как кажется более простая Проблема круга Гаусса о количестве узлов решётки, попадающих внутрь круга заданного радиуса с центром в узле, до сих пор не решена.

С решётками связаны многие задачи теории чисел и теории колец. Мы рассмотрели те из них, что с одной стороны, будут понятны школьникам, а с другой достаточно интересны, чтобы превратиться в исследования и дать тем же школьникам почувствовать себя крутыми.

Предыдущие статьи серии Математическая продлёнка:

Про углы и тригонометрию
Квадратные уравнения во всей красе
Теория чисел на пальцах

Различные заметки и материалы на Дзен-канале Онлайн-кружок математики .

Источник